光刻模型的物理近似与参数校准

光刻模型的预测能力同时取决于物理方程、输入参数和数值求解精度。Maxwell 方程可以在给定几何、材料和边界条件下描述电磁传播，但实际设备和掩模的参数需要量测，光刻胶及刻蚀还需要额外的材料模型。因此，严谨光学求解与工艺模型校准承担不同任务。

Abbe、Hopkins 与 SOCS 主要改变部分相干成像的计算组织；标量、薄掩模和局部平移不变假设决定物理描述的范围；像差、偏振、三维掩模与杂散光则增加响应的物理维度。本文沿这些层次讨论模型近似、参数补偿和独立验证，重点区分数值收敛与晶圆预测能力。

电磁问题的输入与数值收敛

考虑固定波长、线性、各向同性、非磁材料中的电磁场。在没有体源的计算区域，频域 Maxwell 方程可以写成

\[\nabla\times\nabla\times\mathbf E-k_0^2\varepsilon_r(\mathbf r)\mathbf E=0.\]

其中 $\mathbf E$ 为复电场，$k_0=2\pi/\lambda_0$，$\lambda_0$ 为真空波长，$\varepsilon_r$ 是随位置变化的复相对介电常数。几何、材料、入射场和边界条件确定以后，才构成一个可求解的问题。

版图定义设计轮廓，严谨掩模求解还需要厚度、侧壁、圆角及材料光学常数。这些输入共同决定预测衍射场。

有限元 FEM（Finite Element Method）、严格耦合波分析 RCWA（Rigorous Coupled-Wave Analysis）、时域有限差分 FDTD（Finite-Difference Time-Domain）等方法，可以数值求解相应电磁问题。工程上称它们为 rigorous，强调对所选电磁模型的严谨处理。计算仍需要有限网格、有限模态或有限区域，结果也要做收敛检查。

一项三维深紫外 DUV（Deep Ultraviolet）掩模研究同时讨论了有限元计算、衍射结果的收敛和实验空中像比较[5]。同年的一项极紫外 EUV（Extreme Ultraviolet）掩模研究，则把严谨有限元与散射测量结合起来，反演掩模几何参数[6]。

两项工作放在一起，恰好说明了严格求解与拟合的关系。给定几何后，可以精确地计算响应；真实几何尚不确定时，还要用测量去约束输入。继续加密网格，能够减小数值误差，却不会自动修正一个填错的侧壁角。

光学建模需要分别验证物理近似、设备与掩模的输入参数，以及数值收敛。三类误差需要不同的验证证据。

当任务进入光学邻近效应修正，也就是 OPC（Optical Proximity Correction），还会遇到第四个要求。边缘要反复移动，移动以后又要重新预测图像。一个局部结构可以承受的严谨求解成本，放到大量版图和多轮迭代中，可能就承担不起。

快速模型由此开始做取舍。

在薄掩模近似下，以二维复透过率 $M(x,y)$ 压缩三维结构，出射场由入射场逐点相乘得到

\[E_{\mathrm{out}}(x,y)=M(x,y)E_{\mathrm{in}}(x,y).\]

“复数”保留了振幅与相位。开口、遮光和移相区域可以有不同的数值。“逐点相乘”则是更强的假设。它把结构内的传播和耦合，压缩成了每个位置的局部响应。

再暂时采用标量场，并把物镜看作局部线性、平移不变的系统。线性意味着输入场相加，输出场也相加；平移不变意味着图形平移以后，输出只做相应平移。在这些条件下，一个照明方向的成像可以用卷积表示。

初级推导还常采用近轴近似，简化传播角度依赖。薄掩模省略结构细节，标量模型省略电场方向，近轴近似限制角度处理，局部平移不变则允许同一个成像核在一小块区域复用。它们是四个需要分别检查的条件。

至此，光学模型已经包含近似。即使后面的傅里叶变换算得完全准确，也只是在准确求解这套简化后的问题。

相位干涉与强度非线性

在一维双光束模型中，仅保留两束衍射波并移除不影响强度的公共相位，像面场写为

\[e(x)=a_0+a_1e^{i(2\pi f x+\phi)}.\]

$a_0$、$a_1$ 是非负振幅，$f$ 是两束波横向空间频率之差，$\phi$ 是相对相位。暂时省略统一的比例系数，光强就是

\[I(x)=a_0^2+a_1^2+2a_0a_1\cos(2\pi f x+\phi).\]

前两项给出平均背景，最后一项形成明暗起伏。条纹周期为 $1/\lvert f\rvert$。如果只剩一束无限延伸的平面波，强度就是常数；两束波之间的干涉，才在这个例子里产生空间图案。

图中的峰值与谷值分别是最大光强 $I_{\max}$ 和最小光强 $I_{\min}$。条纹对比度为

\[V=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}.\]

亮暗起伏越弱，$V$ 越接近零。偏振和散射均可改变条纹调制度，具体影响见后文。

该结果可用于分析相位误差与邻近耦合。

保持 $a_0$、$a_1$ 不变而改变相对相位 $\phi$，条纹将沿横向移动。因此，相位误差可以直接传递为图像位置误差。

两块掩模区域产生的复电场可以线性叠加，总强度中仍包含相互干涉项。分别成像后相加强度会遗漏这些项，邻近几何由此影响局部印刷结果。

物镜在这里承担的工作，是选择哪些衍射波能够参与叠加，并改变它们的振幅和相位。用 NA（Numerical Aperture）表示数值孔径，在统一到像方的横向频率坐标中，理想圆形光瞳的通光条件可以写成 $\lvert\mathbf f+\mathbf s\rvert\le NA/\lambda_0$。$\mathbf s$ 表示照明方向带来的频谱偏移。

离轴照明改变的正是这个偏移。一个原本在光瞳外的衍射级次，可能因此进入光瞳。判断分辨能力时，要看哪些波被接收、它们的频率差和干涉对比度，再看胶能否形成可用轮廓。光瞳截止频率本身还不是最终可印刷线宽。

部分相干源点积分

扩展照明需要对多个入射方向的贡献作统计组合。

在常用的照明模型中，不同光源点彼此不相干。对测量时间做平均时，源点之间的场交叉项消失，因此应当叠加强度。可对同一个源点，它照亮掩模后产生的各衍射级次仍然相干，必须先叠加电场。

部分相干成像先保留单个源点内部的衍射干涉，再对互不相干源点的强度求和。

令 $S(\mathbf s)$ 为非负光源权重，$P$ 为光瞳函数，$\widehat M$ 为掩模频谱，则 Abbe 形式为

\[e_{\mathbf s}(\mathbf x)=\mathcal F^{-1}\!\left[\widehat M(\mathbf f)P(\mathbf f+\mathbf s)\right](\mathbf x),\] \[I(\mathbf x)=\int S(\mathbf s)|e_{\mathbf s}(\mathbf x)|^2\,\mathrm d\mathbf s.\]

第一式省略了不影响强度的源点相关载波相位。直观地看，就是对每个照明方向各算一张相干图，再按光源权重相加。

图示 4f 光路中，输入场 $U(x,y)$ 经第一片透镜形成频谱，在傅里叶平面改变振幅或相位，再由第二片透镜组成输出。横向波矢 $k_x,k_y$ 是空间频率的 $2\pi$ 倍，图中距离 $f$ 表示焦距。这一原理图描述单个相干通道，部分相干成像还需要对各源点强度求和。

源点之间的统计独立并不消除每个源点内部的掩模相位关系。一般部分相干成像需要保留这些频率交叉项，单一强度卷积不足以完整描述。

对于共用光源与物镜的大量掩模计算，源点积分中的系统响应可以预先合并，再供不同版图复用。

Hopkins 频率耦合表示

Hopkins 的部分相干表述[2]，可以从刚才的两波干涉直接理解。两束波的强度里出现一个交叉项；当掩模有许多频率时，就要把所有频率对的贡献加起来。

把 Abbe 公式中的模平方展开，并先对光源积分，得到

\[I(\mathbf x)=\iint\widehat M(\mathbf f_1)\widehat M^*(\mathbf f_2)\,T(\mathbf f_1,\mathbf f_2)e^{i2\pi(\mathbf f_1-\mathbf f_2)\cdot\mathbf x}\,\mathrm d\mathbf f_1\mathrm d\mathbf f_2,\]

其中

\[T(\mathbf f_1,\mathbf f_2)=\int S(\mathbf s)P(\mathbf f_1+\mathbf s)P^*(\mathbf f_2+\mathbf s)\,\mathrm d\mathbf s.\]

传输交叉系数 TCC，回答的就是两份掩模频率在这套照明和光瞳下，能以多大权重、什么相位关系共同贡献图像。

离散形式中，$f_1=f_2$ 的对角项给出单频强度贡献，$f_1\ne f_2$ 的交叉项携带空间振荡。双光束的余弦条纹是这一频率配对结构的特例。

光源、光瞳和焦点等条件固定时，TCC 就能提前计算，供不同掩模复用。

Abbe 与 Hopkins 在上述一致假设下等价，原因也由此明确了。它们保留同样的交叉项，只是改变了积分顺序。改用 Hopkins，不会自动改善薄掩模近似，也不会损失原本的部分相干物理。

SOCS 的算子截断

TCC 的直接存储成本随频率离散维数的平方增长。二维掩模的 $\mathbf f_1$、$\mathbf f_2$ 各有两个分量，TCC 是四维函数。将频率离散并展平成索引后，可以将其表示为矩阵 $T$。

离散 TCC 的非负相干分解来自其 Gram 矩阵结构。

对一个离散源点，把各频率上的光瞳值排成列向量 $\mathbf p_s$，将源权重与积分权重合入 $w_s\ge0$，则

\[T=\sum_s w_s\mathbf p_s\mathbf p_s^\dagger,\qquad w_s\ge0.\]

符号 $\dagger$ 表示共轭转置。每个源点贡献一个外积，所有外积按非负权重相加。于是对任意向量 $\mathbf v$，都有

\[\mathbf v^\dagger T\mathbf v=\sum_s w_s|\mathbf p_s^\dagger\mathbf v|^2\ge0.\]

由此可知 $T$ 是厄米半正定矩阵，其特征值可以取为非负数。这里的非负性来自强度的统计结构，并非额外拟合出来的限制。

将 $T$ 做特征分解，再把特征向量变回空间域，便得到相干系统求和 SOCS

\[I(\mathbf x)=\sum_{k=1}^{N}\lambda_k|(h_k*M)(\mathbf x)|^2,\qquad\lambda_k\ge0.\]

$h_k$ 是成像核，$\lambda_k\ge0$ 是相应权重，星号表示卷积。各通道对掩模作场卷积、取模平方，再按权重叠加强度。

源点求和原本就有这个形状。SOCS 进一步换到另一组数学模态，让相近、重复的响应尽量集中到少数重要模态中。一个 SOCS 模态通常混合了多个源点的信息，不能把它直接认作一束实际照明光。

单个相干源点产生的 $T$ 至多为秩一，只需要一个非零模态。源点增多时，独立模态数可能增加，但不会必然等于采样点数。不同源点的响应可以高度相关。这是压缩可能有效的原因，也说明“总用几个核就够了”没有普遍保证。

这条分解路线有更早的理论基础。1990 年代，研究者讨论了部分相干系统的最优相干近似[3]，随后又详细展开 SOCS 的数值实现，将其用于快速 OPC 计算[4]。

保留全部离散模态时，SOCS 与同一张离散 TCC 等价。按特征值大小只留下前 $K$ 个模态，才在这一步引入截断近似。

在保持原有归一化、不重新校准的前提下，丢掉的图像贡献为

\[I(\mathbf x)-I_K(\mathbf x)=\sum_{k>K}\lambda_k|(h_k*M)(\mathbf x)|^2\ge0.\]

这个式子给出了一个实用结论。单纯删除这些非负模态贡献，会使该模型的光强逐点不增。但它没有说明边缘会统一向哪个方向移动，更没有包含输入不准、薄掩模失效等其他误差。

小特征值对应的模态误差还取决于掩模对该模态的投影。累计特征值占比描述算子表示，具体图形的边缘精度则需要直接验证。

光强误差可通过阈值边缘的一阶响应传播为位置误差。

假设边缘沿法向坐标 $x$ 满足 $I(x)=T$，$T$ 是一个固定曝光条件下的清除阈值。光强有小误差 $\delta I$，阈值有小变化 $\delta T$，将新边缘处的光强做一阶展开

\[I(x)+(\partial_n I)\delta x+\delta I\approx T+\delta T.\]

消去原来的 $I(x)=T$，就得到

\[\delta x\approx\frac{\delta T-\delta I}{\partial_n I}.\]

阈值不变时，分子为 $-\delta I$。只要局部梯度非零、扰动足够小，同样的强度误差在较缓的边坡上就会造成更大的位置误差。

例如，在一个理想化量纲算例中，归一化光强误差为 0.01，边坡为每纳米 0.01 时，位置误差约为 1 纳米；边坡降到每纳米 0.002，位置误差就约为 5 纳米。这些数值不代表某台设备，只展示分母怎样放大误差。

核数收敛需要在目标图形、焦点和边缘位置上检查。平均强度误差无法单独表征最坏边缘偏移；当边坡接近零时，一阶近似失效，阈值轮廓还可能出现或消失。

增加 SOCS 核改善已有光学算子的数值表示；物理模型中省略的效应需要另行建模。

像差、偏振、三维掩模与杂散光

不同设备效应需要在对应的前向环节建模。

像差与波前相位

双光束模型中，相对相位 $\phi$ 的变化导致条纹平移。物镜像差则对不同衍射分量施加与光瞳位置相关的相位变化。

将光瞳写成

\[P(\mathbf f)=A(\mathbf f)\exp\!\left[i\frac{2\pi}{\lambda_0}W(\mathbf f)\right].\]

$A$ 描述光瞳范围及振幅透过率，$W$ 是以长度表示的波前光程差。离焦和像差可以按一致的约定进入相位，像差常用 Zernike 多项式展开[9]。

把这个光瞳代入 TCC，交叉项中的相位由两处波前的差 $W(\mathbf f_1+\mathbf s)-W(\mathbf f_2+\mathbf s)$ 决定。这正是两束波相对相位的推广。

由此还能得到一个简单但重要的结论。如果所有光瞳位置都加上同一个常数光程，差值会抵消，强度图保持不变。这种整体相位常称为 piston。仅靠这里的强度成像数据，无法识别它。

这已经是一个参数可识别性的例子。方程允许写入一个参数，不代表实验一定能从输出里测出它。其他像差参数即使能够影响图像，也需要适当图形和测量条件才能区分。

实际加像差，通常应修改光瞳，再更新 TCC 或成像核。若已经丢失相位，只在最终强度图上添加一张固定补偿图，通常无法对所有掩模恢复同样的干涉变化。截断 Zernike 展开还会带来另一层表示误差，它与 SOCS 截断发生在不同位置。

偏振与矢量干涉

偏振决定电场方向及矢量内积。即使两束光的标量振幅和相位相同，不同偏振关系也可能产生不同干涉。

矢量电场的交叉项为

\[|\mathbf E_1+\mathbf E_2|^2=|\mathbf E_1|^2+|\mathbf E_2|^2+2\operatorname{Re}(\mathbf E_1\cdot\mathbf E_2^*).\]

对于线偏振波，若两个电场方向平行，方向重叠因子为一；若方向正交，内积为零，交叉项消失。在两波例子里，这意味着两束光各自的强度可以不变，而明暗起伏发生变化。

高 NA 包含较大的传播角度。电磁波的电场又必须满足与传播方向相关的约束，因此各衍射波的电场方向不能一概当成平行。两束平面波的横电 TE（Transverse Electric）、横磁 TM（Transverse Magnetic）偏振成像就是一个具体例子，它展示了方向关系怎样影响对比度[1]。

这里的 $\lvert\mathbf E\rvert^2$ 用来说明场强及局部各向同性吸收中的干涉结构；一般高 NA 能流还要按完整电磁场定义处理。实际矢量模型需要跟踪场分量、偏振变换和光源的偏振统计。

偏振与像差因此改变了干涉的不同部分。像差改变相对相位，偏振改变方向重叠及相关的传播响应。对于前面的两波图案，一个可能移动条纹，另一个可能压低起伏。给整幅标量图乘一个亮度系数，不能同时恢复平均背景与调制度。

三维掩模与照明角度依赖

经典薄掩模使用同一个 $M(x,y)$ 服务于所有照明方向。真实掩模具有厚度、侧壁和材料界面，光从不同方向入射，结构内的传播和散射都会变化。透过或反射后的各级次振幅、相位、偏振，也就可能随入射条件改变。

为了看出它怎样影响算法，可以把严谨求解获得、去掉入射载波后的等效出射频谱记作 $\widehat M_{\mathbf s}$。标量示意式随之变成

\[I(\mathbf x)=\int S(\mathbf s)\left|\mathcal F^{-1}\!\left[\widehat M_{\mathbf s}(\mathbf f)P(\mathbf f+\mathbf s)\right](\mathbf x)\right|^2\,\mathrm d\mathbf s.\]

这个记号只表示随角度变化的响应，并未假定它仍是局部薄掩模透过率。下标 $\mathbf s$ 表示照明角度依赖。展开模平方以后，掩模响应也留在光源积分里面，无法再原样提到积分外。

这就解释了为什么掩模三维效应会影响经典 TCC 的复用方式。此前能把光源与光瞳提前合并，依赖于所有源点共享同一份掩模描述；角度依赖破坏了这层简单分离。

可以逐源点使用严谨响应，也可以对角度依赖分组或展开，建立更多通道，再推导新的快速表示。2025 年一项兼容三维掩模的全矢量 Hopkins 工作，就结合了角度相关掩模响应、矢量传播和多维 TCC[7]。

这条前沿与早期理论有直接联系。沿用频率交叉项的组织方式，同时扩大需要保留的响应维度，再寻找可计算的压缩方法。模型复杂度的增加，是为了容纳此前省略的物理相关性。

杂散光与长程耦合

散射杂光（flare）引入较大空间范围的背景耦合。

有一部分光通过散射形成较宽的光晕。早期研究已经用镜头散射光晕来估计不同掩模带来的 flare，并讨论了测量方法[8]。

用能量归一化的线性散射近似，可写成

\[I_{\mathrm{eff}}=(1-\eta)I_0+\eta(K_f*I_0).\]

$\eta$ 为散射通道的能量比例，$K_f$ 是积分为一的宽核。这个式子假设相应散射可在强度层面作局部平移不变的处理。

对周期条纹 $I_0=\bar I+B\cos(2\pi f x)$，若宽散射核对多个周期平均，卷积项接近 $\bar I$，于是

\[I_{\mathrm{eff}}\approx\overline I+(1-\eta)B\cos(2\pi f x).\]

平均强度保持，明暗起伏降低。局部亮区的一部分能量被分散到了更大范围。这解释了为什么 flare 会降低对比度，也解释了为什么它与布局上下文有关。

若周围是大片透光区，宽核带来的背景可能较高；换成大片遮光区，背景又可能变化。单独一条线的局部几何完全相同，也不保证背景光相同。真实设备还可能需要空间依赖的散射模型，并要避免与其他已计入的散射重复计算。

成像表示与物理模型的分工

光源给定入射条件，掩模决定出射波，光瞳改变传播波的振幅与相位，矢量及相干关系决定它们怎样形成强度，散射再按相应物理模型参与能量分布。Abbe、Hopkins 和 SOCS，则在给定假设下组织或压缩这些计算。

这条链也串起了相关方法的发展。1953 年的 Hopkins 理论组织频率间的交叉项，1990 年代的相干近似与 SOCS 工作推动快速计算，三维电磁求解和矢量处理不断提高物理描述能力，近年的方法再把这些更复杂的响应带回可加速的成像框架。几条路线长期并行，旧的表示方法也会被扩展。

一次模型改动	它解决的问题	它本身不能保证的事
加密严谨求解网格	给定电磁问题的数值收敛	输入几何与材料真实准确
增加 SOCS 核	更完整地表示已有算子	自动包含被省略的偏振或厚度效应
加入像差与偏振	保留相位、方向相关的干涉变化	参数已经被实验唯一确定
加入掩模三维响应	保留结构及入射角依赖	仍可原样使用经典薄掩模分离
加入散射模型	描述光晕及布局背景影响	一个固定背景值适用于所有布局

上述模型仍依赖真实的设备与工艺参数。

设备波前、光源分布、掩模材料和几何、散射分布，都要通过测量或反演确定。真实参数的量测、校准与独立预测检验，必须与方程求解一起完成。Mack 对校准方法的研究讨论了输入误差和稳健回归，说明这一步需要观测模型与统计假设。[10]

不同参数可能在有限数据上产生相似作用。偏振变化和 flare 都可能压低某个条纹的调制度；光强的偏差也可能被清除阈值的变化部分抵消。根据边缘响应公式，若一个校准点上 $\delta T$ 接近 $\delta I$，边缘位置几乎不动。

关键尺寸 CD（Critical Dimension）的低拟合残差可能来自参数补偿，不能单独证明各物理模块的精度。一旦换成另一种 pitch、方向、焦点或周围布局，这种补偿关系就可能失效。

这也是实验设计有价值的地方。改变图形方向，有助于观察方向相关响应；改变焦点，能够暴露相位与传播差异；改变大范围透光背景，可以检验散射影响。再结合独立设备测量和没有参与拟合的图形，才有机会区分几种竞争解释。这些实验增加约束，但也不能保证所有参数都唯一可识别。

模型评价应分别检查数值收敛与独立预测能力。固定输入，增加网格、源点采样和核数，检查求解是否稳定；固定校准结果，再检查它能否预测新图形和新条件。前者确认数值计算，后者检验物理描述及参数的适用范围。

严格求解所能保证的，是在给定方程、输入和边界条件下，把数值误差控制到足够小。工程模型选择哪些近似，取决于需要保留的物理和能够承担的计算成本。真实参数需要测量与校准，而校准结果能否用于其他图形，还要通过独立数据检验。这几件事共同决定了一个光刻模型能预测什么。

从光学分布走到晶圆轮廓，还必须说明材料响应。本文使用的阈值关系，把吸收、反应、扩散和显影压缩成了一个边缘判据。它便于计算，却有自己的适用范围。即使光场已经算准，这层近似仍可能成为轮廓误差的来源。

新增模型项需要明确对应掩模响应、传播干涉或强度—轮廓映射中的哪一环节，并由相应数据约束其参数。改善校准残差与提高独立条件下的预测精度是两种不同结果，模型扩展应以后者检验。

参数补偿与可辨识性

把第 $i$ 个量测写成 $y_i=g_i(\boldsymbol\theta)+\epsilon_i$，其中 $\boldsymbol\theta$ 包括需要估计的物理与紧凑模型参数，$\epsilon_i$ 包括随机量测误差。最简单的加权校准为

\[\widehat{\boldsymbol\theta}=\arg\min_{\boldsymbol\theta} \sum_i\frac{[y_i-g_i(\boldsymbol\theta)]^2}{\sigma_i^2} +\lambda R(\boldsymbol\theta).\]

只有在独立、近似高斯且方差已知等条件下，这个二次损失才直接对应常见的最大似然解释。SEM contour 上相邻点的误差往往相关；同一个 die 的 focus 和 dose 也可能共同漂移，不能把密集采样点全当成独立数据。[10][11]

以前文阈值 $D I=T$ 为例。如果同时把光强的整体尺度乘 $a$、把阈值也乘 $a$，轮廓完全不变。只观测轮廓时，这两个尺度不能分别被确定。这是结构性的不可识别性，增加同类 CD 点不会解决它。必须固定归一化约定，或者引入独立剂量、吸收率或清除阈值数据。

实际问题还存在近似不可识别。局部线性化为

\[\begin{aligned} \Delta\mathbf y&\approx J\Delta\boldsymbol\theta, \\ J_{ij}&=\frac{\partial g_i}{\partial\theta_j}. \end{aligned}\]

对经过量测噪声归一化的 Jacobian 做奇异值分解 $W^{1/2}J=U\Sigma V^\mathsf T$。若某个奇异值很小，对应的参数组合明显变化，量测预测却几乎不动。拟合器仍能返回一个数值，但这个数值可能随初值、样本或微小噪声大幅变化。

拟合得到的有效扩散长度可能同时吸收光学模糊、电子传播、PEB（后曝光烘烤）与计量模糊，不能据此独立确定材料的扩散系数。只有实验能把这些来源区分开，物理命名才具有对应的辨识证据。多组 NA、pitch 和 feature 共同校准一组参数，是增加区分力的一条公开研究路线。[12]

实验设计可以据此有目的地展开，而不是只追求点数。改变 pitch 检验频率依赖，旋转图形检验方向依赖，改变焦点检验相位相关响应，改变远处明暗背景检验长程 flare，PEB split 检验反应扩散，mask bias split 检验掩模误差传递。每个 split 都应配合重复曝光或重复量测，先估计噪声，才知道观察到的差别是否超出噪声水平。

正则化通过限制非物理参数、惩罚核振荡或保持稀疏性抑制不稳定方向，其约束来自先验或工程偏好。如果不同先验在相近训练残差下给出不同外推结果，应将这种分歧计入模型不确定性。

模型扩展的独立验证

第一步先固定物理输入，检查纯数值误差。源点采样、像面网格、计算区域和 SOCS 模态都要分别收敛；只改变一个因素，比较空中像、EPE（边缘放置误差）和优化梯度。如果模型是 ILT（逆光刻技术）的内循环，梯度误差同样可能改变最终掩模。前向图像看起来接近，并不保证优化方向已经稳定。

第二步再估计参数，并且把调参用的数据与最终检验数据分开。相邻的 clip、同一重复 cell 的不同 gauge、同一 FEM 中强相关的样本若随机拆分到训练和验证两边，会夸大泛化表现。更严格的 holdout 可以按图形家族、整片 wafer 或某个 process split 分组；具体分组应服从最终要预测的新情况。

第三步看残差的结构。总体 RMS 是 $\sqrt{N^{-1}\sum_i r_i^2}$，它会被大量容易样本主导。应同时看各 pitch、方向、二维图形、焦点与剂量分箱的均值、尾部、最大 EPE 和失败类别。假如线端持续向同一方向偏，而大多数长直边拟合很好，平均 RMS 的下降没有消除这个系统误差。

第四步进行模型比较。基础模型与扩展模型必须使用同一量测定义、同一数据拆分、同一数值精度。比较独立验证误差是否改善、参数是否稳定，以及整个多条件验证的运行时间是否可接受。光学新增项若只在训练集有效，需要继续判断它是吸收量测偏差，还是提供了可迁移的物理响应。[10][11]

观测模型还需要描述测量仪器与轮廓提取的响应：

\[\mathbf y_{\mathrm{SEM}} =\mathcal H\!\left(\mathcal F(M;\boldsymbol\theta);\boldsymbol\phi\right) +\boldsymbol\epsilon,\]

$\mathcal F$ 预测物理轮廓，$\mathcal H$ 表示 SEM 成像、扫描、边缘抽取和 CD 定义，$\boldsymbol\phi$ 是计量参数。若把 SEM 量测值直接当成没有偏差的真实边界，材料模型就可能替计量模型背负误差。Mack 等在 metrology-aware calibration 中把这层观测关系显式纳入，说明“晶圆数据”也需要一条可检验的产生链。[11]

模型发布应记录固定输入下的数值误差、约束参数的独立信息，以及未参与拟合的验证图形和工艺范围。严谨电磁求解、紧凑表示与实验校准的结果，需要在同一误差预算内评价。

参考文献与图片出处

教材支持基础光学；原始论文支持相应的计算和校准方法。文中的两波展开、半正定证明、局部边缘误差和奇异值分析为明确假设下的推导。网页访问日期均为 2026-10-25。

1. Sander Konijnenberg, Aurèle J. L. Adam, H. Paul Urbach. BSc Optics, 2nd ed. TU Delft Open, 2024. DOI:10.59490/tb.91。第 5 章相干与干涉、第 6 章衍射；图 5.8 与 6.18 以 CC BY 4.0 许可裁切使用。
2. H. H. Hopkins. “On the diffraction theory of optical images.” Proceedings of the Royal Society A, 217:408–432, 1953. DOI:10.1098/rspa.1953.0071。
3. Y. C. Pati, T. Kailath. “Phase-shifting masks for microlithography: automated design and mask requirements.” JOSA A, 11(9):2438–2452, 1994. DOI:10.1364/JOSAA.11.002438。
4. Nicolas B. Cobb. Fast Optical and Process Proximity Correction Algorithms for Integrated Circuit Manufacturing. PhD dissertation, University of California, Berkeley, 1998. 大学原始记录及全文。
5. S. Burger, R. Köhle, L. Zschiedrich, et al. “Rigorous Simulation of 3D Masks.” Proceedings of SPIE, 6349:63494Z, 2006. 作者预印本 physics/0610218。
6. J. Pomplun, S. Burger, F. Schmidt, et al. “Rigorous FEM-Simulation of EUV-Masks: Influence of Shape and Material Parameters.” Proceedings of SPIE, 6349:63493D, 2006. DOI:10.1117/12.686828，作者预印本。
7. Shaopeng Guo, Haofeng Chen, Chunxiao Mu, et al. “Mask3D-compatible full-vectorial Hopkins imaging for lithographic modeling.” Optica, 2025. DOI:10.1364/OPTICA.565511，作者机构说明。
8. Joseph P. Kirk. “Scattered light in photolithographic lenses.” Proceedings of SPIE, 2197:566–572, 1994. DOI:10.1117/12.175451。
9. Chris A. Mack. Inside PROLITH: A Comprehensive Guide to Optical Lithography Simulation. FINLE Technologies, 1997. 作者发布的教材 PDF。本文仅引其模型说明，未复制该教材图片。
10. Chris A. Mack. “Improved methods for lithography model calibration.” Proceedings of SPIE, 6607:66071D, 2007. DOI:10.1117/12.728961，作者全文。
11. Chris A. Mack, John L. Sturtevant, Yun Deng, et al. “Modeling metrology for calibration of OPC models.” Proceedings of SPIE, 9778, 2016. DOI:10.1117/12.2218534，作者全文。
12. J. Byers, C. Mack, R. Huang, S. Jug. “Automatic calibration of lithography simulation parameters using multiple data sets.” Microelectronic Engineering, 61–62:89–95, 2002. DOI:10.1016/S0167-9317(02)00438-0。