水平集逆光刻：形状导数、界面演化与制造约束

水平集方法以标量函数的零等值线表示掩模边界，将几何更新转换为隐式场的演化。该表示便于计算法向和曲率，并能够处理已有界面的合并与分裂；新增独立结构仍取决于初始化、成核机制和更新区域。

Osher 与 Sethian 的界面演化方法为这一表示提供了数值基础，后续研究将其用于逆光刻中的掩模综合。[1][3] 本文采用二维二值振幅掩模与紧凑成像模型，推导损失梯度、形状导数和法向速度的关系，分析步长、重初始化、拓扑搜索与制造约束对优化结果的影响。相移掩模、矢量成像及三维掩模响应需要相应扩展。

零水平集与掩模定义

设二维标量函数为 $\phi(x,y)$，约定透光区域内部为负，外部为正：

\[\begin{aligned} \Omega&=\{\mathbf x:\phi(\mathbf x)<0\}, \\ \Gamma&=\partial\Omega=\{\mathbf x:\phi(\mathbf x)=0\}. \end{aligned}\]

相应的理想二值透过率是

\[m(\mathbf x)=H(-\phi(\mathbf x)),\]

其中 $H$ 是 Heaviside 阶跃函数。换一种内外符号约定同样可行，但法向、速度和梯度的正负号都必须一致。代码里最危险的错误之一，就是论文用内部为正，而实现仍沿用内部为负的速度公式。

初始化常使用符号距离函数：$\lvert\phi\rvert$ 等于到最近边界的距离，在光滑且最近点唯一的地方有 $\lvert\nabla\phi\rvert=1$。此时函数值有明确的几何尺度，计算法向与曲率也较稳定。水平集本身并不要求处处都是距离函数。[2]

通过网格间插值可以得到零等值线，使边界位置在网格单元内连续变化。其精度仍受网格、插值、曲率估计及轮廓矢量化限制，最小可靠几何尺度需要由收敛实验确定。

鲁棒目标与几何正则化

设目标晶圆图形为 $T$，工艺条件为 $\theta_q$，正向光刻模型为 $\mathcal F_{\theta_q}$。一个教学用的鲁棒目标是

\[J(\phi)=\sum_{q=1}^{Q}w_q D\!\left(\mathcal F_{\theta_q}[H(-\phi)],T\right) +\alpha\,\operatorname{Per}(\Omega)+\beta C(\Omega).\]

这里 $w_q\geq0$，若表达离散概率则令 $\sum_qw_q=1$。$D$ 可取图像误差、轮廓误差或控制点 EPE（边缘放置误差）；周长项用于压制无收益的边界复杂度，$C$ 则表达可制造性代价。这个目标是本文归纳的结构示例，不是某款工业工具公开的完整目标函数。

不同目标并不等价。逐像素平方误差关心面积差异，可能低估窄桥连或线端开路的风险。EPE 强调局部边界，但若控制点太稀，也可能漏掉中间的颈缩。PV band 描述工艺变化下的轮廓变化区域，其面积小，也不自动保证所有关键电路位置都达标。实践上需要组合指标，并明确哪些属于硬性验收条件。

平均工艺误差与最坏情形误差也不同：

\[\begin{aligned} J_{\rm avg}&=\sum_qw_qD_q, \\ J_{\rm worst}&=\max_qD_q. \end{aligned}\]

前者允许少数困难条件被其他条件抵消，后者更关注最差工艺角，却可能受单个异常采样点支配。2011 年的鲁棒水平集 ILT 论文使用包含离焦与像差变化的期望目标，说明鲁棒性必须进入问题定义，而不能在最佳焦点优化结束后靠检查“补出来”。[4]

从图像残差到掩模梯度

对互不相干的照明源点，先计算每个源点内部的相干电场，再叠加强度。将照明与光瞳对应的成像算子分解为非负加权的相干通道，得到 SOCS（相干系统之和）形式；固定工艺条件时，空中像可写成

\[\begin{aligned} I(\mathbf x)&=\sum_{k=1}^{K}\lambda_k |u_k(\mathbf x)|^2, \\ u_k&=h_k*m. \end{aligned}\]

$\mathbf x$ 是晶圆侧横向坐标，$u_k$ 是第 $k$ 个通道的复电场，$h_k$ 是复数相干卷积核，$*$ 表示空间卷积，$\lambda_k\geq0$ 是通道权重，$K$ 是保留的通道数。这一步的水平集表示与光学模型是独立模块：可以更换掩模参数化而保留成像器，也可以提高成像模型保真度而保留水平集优化框架。

若用平滑阈值近似胶响应，令

\[\begin{aligned} r&=\sigma\!\left(a(I-I_{\rm th})\right), \\ D&=\frac12\int(r-T)^2\,d\mathbf x, \end{aligned}\]

其中 $\sigma(z)=1/(1+e^{-z})$ 为 logistic 函数，$I_{\rm th}$ 是有效曝光阈值，$a>0$ 控制阈值陡峭程度，$r$ 近似表示曝光后的二值占据状态，$T$ 是采用相同极性定义的目标。由 $d\sigma/dz=\sigma(1-\sigma)$，传到光强的残差为

\[g_I=(r-T)\,a r(1-r).\]

$a$ 过小，优化的是过度模糊的轮廓；$a$ 过大，绝大多数像素的梯度接近零。逐步增加阈值陡峭程度是一种延续策略，但每次改变 $a$ 后都应重新检查硬阈值下的图形，而不能只观察平滑损失。

对于实数掩模扰动，利用卷积的伴随可以得到

\[\begin{aligned} g_m&=\frac{\delta D}{\delta m} =2\operatorname{Re}\sum_k\lambda_k h_k^{\dagger}*\left(g_Iu_k\right), \\ h_k^{\dagger}(\mathbf x)&=h_k^*(-\mathbf x). \end{aligned}\]

这一式由上述模型的链式法则得到：前向计算各通道电场，反向经共轭翻转核传回图像残差。不同复数梯度、归一化和 FFT（快速傅里叶变换）约定可以产生不同代码形式，方向导数则应保持一致。

掩模变量为一百万时，逐变量有限差分需要相应数量的重复仿真。伴随法同时计算全部敏感度，主要成本与少量前向和反向传播相关。像素和显式曲线方法同样可以采用这一导数结构，其收益独立于水平集表示。

形状导数与法向速度

对内部为负的约定，外法向和曲率可写成

\[\mathbf n=\frac{\nabla\phi}{|\nabla\phi|},\qquad \kappa=\nabla\!\cdot\mathbf n.\]

令边界沿外法向移动的速度为 $V_n$，形状导数记作

\[\frac{dJ}{dt}=\int_{\Gamma}G\,V_n\,ds.\]

$G$ 表示边界向外走一点，目标函数会怎样变化。在理想连续形式下取 $V_n=-G$，就有

\[\frac{dJ}{dt}=-\int_{\Gamma}G^2\,ds\leq0.\]

这说明负形状梯度是下降方向，并没有证明离散实现的每一步都下降，更没有证明最后得到全局最优。实际算法还要处理步长、近似梯度、制造约束和多工艺角之间的冲突。

在边界上的点 $\mathbf x(t)$ 满足 $\phi(\mathbf x(t),t)=0$。对时间求导，再代入 $d\mathbf x/dt=V_n\mathbf n$，得到

\[\frac{\partial\phi}{\partial t} +V_n|\nabla\phi|=0.\]

这就是控制水平集运动的 Hamilton–Jacobi 方程。这里的 $t$ 是优化演化参数，不是曝光时间，也不是酸扩散时间。[1][2]

周长正则化会把曲率带入 $G$。对圆形透光岛，按上述外法向约定有 $\kappa=1/R>0$；若只最小化周长，速度应指向内侧，圆岛逐渐缩小。这个简单例子是检查符号的一种直接方法：若圆越优化越膨胀，首先应排查法向与速度的约定。

离散演化与迭代流程

在给定网格和初始掩模后，一轮迭代可以这样组织：

1. 从 $\phi$ 得到掩模及亚像素边界；若使用平滑 $H_\epsilon$，记录过渡带宽度。
2. 在各工艺角计算光学图像、胶响应和轮廓。
3. 计算数据误差、制造代价和对应敏感度。
4. 求出边界速度，并把速度延拓到需要更新的窄带。
5. 用合适的迎风格式推进水平集，必要时缩小步长。
6. 对候选解执行损失下降与硬性规则检查；接受后再决定是否重初始化。

一般的单调 Hamilton–Jacobi 显式离散需要满足类似

\[\Delta t\left(\frac{\|V_x\|_\infty}{\Delta x} +\frac{\|V_y\|_\infty}{\Delta y}\right)\lesssim1\]

的 CFL 限制，具体常数取决于格式。曲率流还可能引入更严格的抛物型稳定条件。因此，把学习率无限调大以减少迭代次数，很可能换来轮廓振荡或数值失稳。[2]

还应区分两种常被混写的实现。一种显式求解界面演化 PDE；另一种把 $\phi$ 当作离散变量，平滑 $H$ 后直接用梯度优化器更新。两者可以混合，但不能把某一种 PDE 格式的稳定性结论原样套到另一种离散优化上。报告算法时应同时写明变量、梯度、更新规则和轮廓提取方式。

重初始化、窄带与尺度选择

随演化进行，$\phi$ 可能变得很平或很陡，影响法向与曲率。常见重初始化方程是

\[\begin{aligned} \frac{\partial\psi}{\partial\tau} &=\operatorname{sgn}_{\epsilon}(\phi_0) \left(1-|\nabla\psi|\right), \\ \psi(\mathbf x,0)&=\phi_0(\mathbf x). \end{aligned}\]

$\tau$ 是另一种数值伪时间。目标是恢复距离函数性质，同时尽量保留零水平集。连续理论中的零点保持不代表离散网格上完全不漂移，因此应测量重初始化前后的轮廓差与成像差。[2]

窄带方法仅更新边界附近的网格，可减少几何演化的工作量。但它不会自动减少全部光学计算：一个边界点的成像梯度仍受光学作用范围内其他图形影响。窄带宽度、速度延拓宽度、光学 halo 和模型散射范围是不同参数，不能用同一个“窗口”含糊替代。

平滑 $H_\epsilon$ 同样有尺度问题。过渡带宽于待优化的小特征时，算法看到的掩模与最终二值掩模差异较大；过渡带太窄时，导数只落在极少数像素上。合理做法是联动检查网格间距、过渡带和最小几何尺寸，并在最终二值轮廓上复算。

拓扑变化与独立结构的成核

隐式表示无需预先给每条曲线编号，两条边界相遇时可以合并，细颈可以断开，连通区域也可能消失。这是它处理复杂几何的一项优势。[1]

纯边界形状导数和窄带更新仅作用于已有界面附近，远离界面的均匀区域缺少生成新零水平集的机制。因此，合并与分裂能力并不等价于全域独立 SRAF（亚分辨率辅助图形）的成核能力。

要探索新连通分量，可以引入有依据的初始辅助图形、拓扑导数、全域更新或其他候选生成机制。不同实现拥有的拓扑自由度因此不一样。声称“Level Set 能自动生成所有辅助图形”时，必须同时说明初始化、更新区域与成核策略。

这也解释了为什么初值仍然重要。掩模反演具有非凸性；两套初值即使最终都满足停止条件，也可能停在不同的局部解。比较算法时，应报告初值、随机种子、停止准则和制造约束，避免把初始化优势误认为求解器优势。

几何正则化与制造规则

周长短、曲率小，通常能减少无意义的锯齿和小碎片，但它们不能替代 MRC（Mask Rule Check，掩模规则检查）。两条很平滑的曲线仍然可以靠得过近；一个周长较短的岛也可能小于最小面积；单点曲率估计合格，也不保证导出后的折线符合全部规则。

因此制造检查至少要分别覆盖最小线宽、最小间距、最小面积、曲率或最小半径、连通性，以及数据格式与写入约束。部分规则具有非局部性质，例如间距需要同时观察两段可能相距较远的边界参数；只加入一个局部曲率罚项并不足够。

一个可操作的流程是：优化时用平滑代价引导搜索，阶段性执行精确几何规则检查；对违规部分做受约束修复，再把修复后的掩模送回正向模型。若只在最后一次性“清理小岛”，被删除的结构可能恰好承担关键衍射补偿作用，EPE 会重新变坏。

掩模本身还要经历写入和加工。MPC（掩模工艺修正）、fracture 和轮廓离散会改变提交给光学模型的几何。因而要区分“优化变量中的边界”“交付文件中的边界”和“真实掩模边界”。三者之间的误差需要分别测量；本文的方法不能直接保证后两者自动等于前者。

全芯片计算与学习辅助

GPU 适合并行卷积、逐点运算与多工艺角计算；水平集的梯度、曲率和局部更新也有规则的数组结构。Yu 等在 DATE 2021 的研究把工艺窗口目标、演化策略和 GPU 实现结合起来，并在指定公开基准上比较效果。[5]

这类结果说明了实现路线的可行性，但不能从一个基准推断所有层的工业吞吐。全芯片还要管理分块、halo、接缝、规则检查、数据转换和最坏图形。单个 clip 的优化时间与整层交付时间必须分别报告。

学习方法则可能提供初始掩模，预测速度，或者把物理更新作为网络的一层。Ma 与 Hao 的物理约束深度水平集研究属于后者。[6] 训练得到的输出仍需要相同的成像和制造验证；换了光源、工艺角、模型或版图分布，不能默认网络已经适配。

不同表示也可以分工：像素优化快速探索候选，水平集调整边界和部分拓扑，曲线参数化承担最终规则约束与文件导出。这是一种可研究的混合策略，是否划算要测量转换损失、总运行时间和最终验收率，不能仅按某个中间阶段的损失判断。

线端更新的方向导数算例

设目标是在 $x=x_t$ 结束的一条亮线，模型当前预测线端在 $x=x_p<x_t$。只看线端位置，定义残差 $e=x_p-x_t<0$。把掩模端部的外向位移记为 $a$，在当前解附近作一阶近似：

\[\begin{aligned} x_p(a+\delta a)&\approx x_p(a)+b\,\delta a, \\ b&=\frac{\partial x_p}{\partial a}. \end{aligned}\]

如果 $b>0$，即把掩模端部向外推能延长晶圆线端，那么 $D=e^2/2$ 的梯度是 $\partial D/\partial a=eb<0$，负梯度更新会增加 $a$。这是一个完整的方向核对：晶圆线端偏短，目标函数要求沿能让线端延长的方向改变掩模。

但不要把这个例子推广成固定的修正规则。端部位移也会改变侧边、邻近接触孔和离焦图形。对多个控制点，令 $\mathbf a$ 表示一组局部边界自由度，$\mathbf e$ 表示 EPE，则

\[\begin{aligned} \mathbf e(\mathbf a+\delta\mathbf a) &\approx\mathbf e+J_e\,\delta\mathbf a, \\ \nabla_{\mathbf a}D&=J_e^{\mathsf T}W\mathbf e. \end{aligned}\]

一个边界位置的更新因此汇集多个残差，而不是只听最近控制点的意见。水平集法把这些几何自由度装入隐式场，伴随法把各处误差送回边界；二者共同完成这套耦合计算。

再设两个工艺角对同一自由度给出梯度 $g_1=-2$、$g_2=1$，且权重相同。加权梯度偏向增大该自由度，但不表示两个工艺角都得到改善。若最差工艺角必须达标，应使用明确的约束或最坏情形目标，并检查活动约束。这里的数值只是说明梯度冲突的教学例子，不来自任何实验。

实际调试中，可以先冻结其他边界，只移动一小段，再比较预测 EPE 与一阶敏感度；然后增加邻近边界和工艺角。这样能区分符号错误、坐标错误、非线性步长过大，以及目标函数本来就允许的折中。一次性把全部模块打开，即使损失下降，也很难知道误差从哪里来。

掩模参数化方法的比较

表示方法决定变量的组织方式，不能单独决定解的质量。要比较边段、像素、水平集和样条，必须先固定同一个前向模型、同一套工艺角、同一个目标及制造规则。

表示	直接控制的量	容易表达的改变	需要额外处理的部分
边段	已有边段的位移	局部线宽与线端修正	新结构、分段策略和连接关系
像素场	网格上的振幅或密度	全域搜索与候选拓扑	二值化、锯齿与小碎片
水平集	隐式函数的零等值线	曲线运动、已有边界的合并分裂	成核、重初始化、距离尺度
显式样条	曲线控制点	紧凑平滑边界与直接几何约束	控制点布置、拓扑变化与自交

不同表示可以组合相同的几何先验与约束。像素法可增加周长或最小尺度项，水平集离散后也可能保留小岛，样条则可通过新增轮廓探索拓扑。比较参数化方法时应控制这些策略，避免将约束配置的差异归因于表示本身。

运行成本也要统一口径。像素数量、活动边界点数量和样条控制点数量并不能直接换算成总时间；光学仿真、梯度、几何规则检查和导出可能占据不同的比例。应至少报告每轮耗时、总轮数、模型调用次数、峰值内存及规则修复后的最终质量。

停止条件与模型不确定性

当 $\lVert\nabla J\rVert$ 很小，可能是真正接近驻点，也可能是平滑阈值饱和、边界被冻结或步长太小。损失连续若干轮不变，可能是收敛，也可能是更新被制造规则全部拒绝。停止准则应同时查看目标改善、边界移动幅度、梯度信息与验收条件，不能仅使用固定迭代次数。

还应留下独立的精度预算。例如，若两种算法最终 EPE 相差很小，而网格加密或模型校准变化造成的 EPE 差异更大，就不足以证明前者在真实工艺中更好。增加自由度有时只是让优化器更容易利用模型偏差，因此最终结果需要更高保真复算和独立数据验证。

对鲁棒性也要区分“工艺波动”与“模型不知道”。已知剂量分布可以进入工艺期望；不确定的光瞳、材料参数或掩模侧壁则属于模型输入的不确定性。把后者当成一个确定的最佳拟合值，得到的掩模可能对校准误差十分敏感。可以用若干合理模型实例复算候选解，观察最坏 EPE 与制造裕量，但实例如何选择仍需要测量证据。

研究报告应保存初始几何、网格与坐标约定、光学核来源及归一化、工艺角、平滑参数、正则权重、步长策略、重初始化频率、硬性规则和停止原因。只有这些信息一致，别人才有机会复现实验，也才知道某个改进应归功于哪一层。

数值、工艺与制造验证

优化结果的验证分别覆盖导数、数值离散、成像近似、工艺覆盖、制造几何和系统实现。

验证层	需要记录的证据	典型失败信号
导数	随机方向的解析方向导数与中心差分一致性	减小扰动后仍没有相符区间
数值	加密网格、调整步长、加宽窄带后的轮廓变化	换一次网格结果就明显改变
光学	增加源点、核数、作用范围后的结果	优化收益随更准确仿真消失
工艺	独立焦点位置、剂量和像差条件的 EPE、失效检查	只在优化时使用的工艺点合格
制造	导出与规则修复后重新成像	图像损失下降但违规数增加
系统	分块接缝、内存、I/O 和整层时间	小 clip 很快，整层不能稳定完成

以导数检查为例，对离散变量 $\phi$ 和测试方向 $p$，比较

\[\frac{J(\phi+\epsilon p)-J(\phi-\epsilon p)}{2\epsilon} \quad\text{与}\quad \nabla_\phi J\cdot p.\]

测试应针对实现实际采用的平滑目标；硬阈值在轮廓跳变处不一定可微。$\epsilon$ 太大会进入非线性区，太小则受舍入误差影响。正确实现通常会在中间的一段尺度上相符，而非在任意小扰动下无限提高精度。

水平集把隐式几何、形状敏感度和边界演化组织在同一优化框架中。最终误差同时依赖正向模型、初值、离散求解和制造处理，方法改进需要在相应层次分别验证。

参考文献

[1] Osher, S.; Sethian, J. A. Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton–Jacobi formulations. Journal of Computational Physics, 1988, 79(1): 12–49. DOI: 10.1016/0021-9991(88)90002-2；作者公开版本。

[2] Persson, P.-O. The Level Set Method — Lecture Notes. University of California, Berkeley, Math 228B, 无标注年份。课程讲义。访问日期：2026-10-25。

[3] Shen, Y.; Wong, N.; Lam, E. Y. Level-set-based inverse lithography for photomask synthesis. Optics Express, 2009, 17(26): 23690–23701. DOI: 10.1364/OE.17.023690；作者公开全文。

[4] Shen, Y.; Jia, N.; Wong, N.; Lam, E. Y. Robust level-set-based inverse lithography. Optics Express, 2011, 19(6): 5511–5521. DOI: 10.1364/OE.19.005511；香港大学公开全文。

[5] Yu, Z.; Chen, G.; Ma, Y.; Yu, B. A GPU-enabled Level Set Method for Mask Optimization. Design, Automation & Test in Europe Conference & Exhibition (DATE), 2021. 作者公开全文。

[6] Ma, X.-Y.; Hao, Y. Inverse lithography physics-informed deep neural level set for mask optimization. Applied Optics, 2023, 62: 8769–8778. DOI: 10.1364/AO.503332；作者预印本 arXiv:2308.12299。