光刻成像的空间频率响应

光刻成像的频率响应取决于照明相干性和被传递的物理量。相干系统对复电场线性，完全非相干系统对强度线性；一般部分相干成像则需要保留不同掩模频率之间的耦合。因此，场传递函数、强度光学传递函数（OTF）和传输交叉系数（TCC）具有不同的定义与适用范围。[1][2]

有限孔径限制可传递的频率支撑，光瞳中的振幅和相位进一步决定各频率对像面的贡献。下文在晶圆侧坐标中推导三类成像关系，再分析离焦、二维方向性以及带宽受限条件下的掩模反演。

空间频率与坐标约定

本文的 $\lambda$ 取真空波长；数值孔径已经包含像方介质折射率，不能再把 $\lambda$ 除以介质折射率后重复计入。空间频率 $f$ 的单位是“每单位长度的周期数”，周期 $p$ 与频率的关系是 $f=1/p$。一组等线宽线空图形，如果线宽与空宽都是 $w$，那么 $p=2w$，基频是 $1/(2w)$，并不是 $1/w$。

以下统一采用晶圆侧坐标；掩膜的缩小倍率已吸收到坐标变换里。$m(x,y)$ 表示掩膜的复振幅透过率，可以包含幅度和相位；$\widetilde m(f_x,f_y)$ 是其傅里叶变换。即使只讨论 0/1 二值掩膜，也要保留“振幅”这个物理含义，避免把它与物体强度混用。

矩形线条与无限周期方波也应区分。宽度 $a$ 的单条矩形，频谱包络是 $a\operatorname{sinc}(af)$，其中 $\operatorname{sinc}(u)=\sin(\pi u)/(\pi u)$；周期线栅则产生离散级次。前者是连续频谱，后者是离散谱线。它们都需要高频来表达陡边，但邻近效应并不能仅靠一个“边缘高频很多”的说法计算出来。

相干场传递函数

在薄掩膜、标量、等晕和近轴近似下，正入射相干照明对应：

\[E(x,y)=h(x,y)*m(x,y),\] \[\begin{aligned} \widetilde E(\mathbf f)&=P(\mathbf f)\widetilde m(\mathbf f), \\ I(x,y)&=|E(x,y)|^2. \end{aligned}\]

$h$ 是振幅点扩散函数，$P$ 是频率坐标下的复瞳函数，二者互为傅里叶变换。理想、无像差、均匀透过的圆形瞳为：

\[P(\mathbf f)= \begin{cases} 1,&|\mathbf f|\leq f_c,\\ 0,&|\mathbf f|>f_c, \end{cases} \qquad f_c=\frac{NA}{\lambda}.\]

这是一个关于场振幅频率的截止。维也纳工业大学的光刻建模学位论文明确从物场到像场推导这一卷积关系；MIT 的傅里叶光学课程也把相干与非相干成像分别处理。[2][3]

探测与光化学响应依赖强度。电场卷积取模平方后包含物点及频率之间的交叉项，因此一般不满足 $I=m*\lvert h\rvert^2$；相干系统的线性关系定义在复电场上。

三衍射级线栅的解析像

令周期为 $p$、占空比为 50% 的亮线栅以亮区中心为原点。其振幅傅里叶展开为：

\[m(x)=\frac12+\frac2\pi \left[\cos\frac{2\pi x}{p} -\frac13\cos\frac{6\pi x}{p} +\frac15\cos\frac{10\pi x}{p}-\cdots\right].\]

假设瞳只允许 $0$ 与 $\pm1$ 级通过，且最佳焦面上相位相同，那么

\[E(x)=\frac12+\frac2\pi\cos\frac{2\pi x}{p},\] \[I(x)=\frac14+\frac{2}{\pi}\cos\frac{2\pi x}{p} +\frac{4}{\pi^2}\cos^2\frac{2\pi x}{p}.\]

该解析算例显示，方波经过场滤波后，强度可能具有过冲或旁瓣，无法由一个始终非负的强度模糊核表示。同时，$\cos^2$ 项产生两倍基频，说明像强差频与通过光瞳的物体场频率需要分别讨论。

若仅保留零级，像场和强度均为常数，改变阈值无法形成线栅。周期强度调制需要至少两个适当衍射级次的干涉。

在 $193\,\mathrm{nm}$、$NA=1.35$ 的示例条件下，$f_c\approx0.00699\,\mathrm{nm}^{-1}$。正入射时，让 $\pm1$ 级进入瞳要求 $p\geq\lambda/NA\approx143\,\mathrm{nm}$，相应半间距约为 $71.5\,\mathrm{nm}$。这只是该照明与掩膜模型的级次条件，不是这套光学系统在所有照明方式下的最终分辨率。

非相干强度传递函数

若不同物点在时间平均意义下互不相干，交叉项平均为零，才得到另一种线性系统：

\[\begin{aligned} I_i&=I_o*PSF_I, \\ PSF_I&=|h|^2. \end{aligned}\]

其光学传递函数 OTF 是强度点扩散函数的傅里叶变换，也等价于归一化后的复瞳自相关：

\[H_I(\mathbf f)= \frac{\int P(\mathbf u+\mathbf f)P^*(\mathbf u)\,d\mathbf u} {\int|P(\mathbf u)|^2\,d\mathbf u}.\]

两个半径 $f_c$ 的瞳在相对平移超过 $2f_c$ 后不再重叠，因此非相干强度 OTF 的截止为 $2NA/\lambda$。这个“2”来自瞳的自相关，而不是镜头忽然收到了两倍角度的光。[1][3]

对于无像差、无中心遮挡的圆瞳，令 $\nu=\lvert\mathbf f\rvert/(2f_c)$，有

\[\begin{aligned} H_I(\nu)&=\frac2\pi\left[\arccos\nu-\nu\sqrt{1-\nu^2}\right], \\ &0\leq\nu\leq1. \end{aligned}\]

超出该范围为零。它在截止之前就持续降低：例如 $\nu=0.5$ 时约为 $0.391$，不是一块截止前完全无损的矩形窗口。所谓低通既包含“支撑之外没有传递”，也包含“支撑之内的调制度衰减”。相干场截止与非相干强度截止对应不同输入量，不能仅凭两者相差一倍，就宣称一种照明对所有对象拥有两倍分辨率。

部分相干成像的频率耦合

光刻常采用扩展源照明。把源分成互不相干的小源点，每个源点照亮掩膜后，先算自己的相干场，再把各自的强度加起来。用 $\mathbf s$ 表示与像方统一折算的入射空间频率，忽略不影响强度的整体相位，可以写成：

\[I(\mathbf r)=\int S(\mathbf s) \left|\mathcal F^{-1} \left\{P(\mathbf f+\mathbf s)\widetilde m(\mathbf f)\right\} \right|^2d\mathbf s.\]

$S$ 是源的非负权重。这就是扩展源的 Abbe 求和思路。[4] 对每个源点，瞳都在掩膜频谱上选择不同位置；最后发生的是强度求和，而不是所有入射方向的场直接相加。

因此，一般不能找到一个只依赖单个频率的 $H(\mathbf f)$，使所有掩膜都满足 $\widetilde I=H\widetilde m$。Hopkins 表述使用两个物频率的传递交叉系数 TCC，正是为了保留平方关系中的频率配对。常见的相干模态分解也不是“把整个问题变回一个卷积”，而是多个相干卷积的模平方加权和。

对于半径为 $\sigma f_c$ 的居中圆源，能够被某个源点移入瞳的掩膜频率，其支撑并集可延伸到 $(1+\sigma)f_c$。但这个并集仅说明某个频率可能进入，并未保证它有足够权重，或能与另一个级次形成有用干涉。它不能作为所有图形的单一强度低通传递函数。[4]

光瞳相位、离焦与像差

真实瞳可以写成

\[P(\mathbf f)=A(\mathbf f)e^{i\phi(\mathbf f)}.\]

孔径决定支撑，$A$ 决定振幅透过，$\phi$ 包含像差及离焦相位。近轴近似下，离焦给不同半径的频率引入与 $z\lambda\lvert\mathbf f\rvert^2$ 成正比的相位；其具体符号取决于传播约定。[1]

这意味着图像变差时，截止圆不一定缩小。可能是相同级次仍在，但它们之间的相位关系变化，强度调制减弱，甚至出现局部反转。只看“某个频率有没有进入瞳”，不足以判断离焦表现；还要看所收集级次的相对相位和振幅。

高 NA 下进一步需要考虑矢量电场、偏振与大角度传播，三维掩膜也不再总能用一个与入射方向无关的 $m(x,y)$ 表示。低通视角仍然有用，但标量圆瞳公式应作为解释级模型，而非不加条件的生产预测器。[5]

胶扩散模型与光学传播的组合条件

常扩散系数的线性扩散方程在可忽略边界时可表示为高斯卷积，扩散长度随 $\sqrt{Dt}$ 缩放。化学放大胶还包含生成、反应和淬灭，显影依赖局部材料状态。这些过程通常不具备线性或可交换性，因此与光学传播串联时需要保留各自的作用顺序。[6]

在受限条件内，用一个有效模糊核拟合胶效应可能非常实用；关键是把它称作经过校准的近似。若把有效核跨越胶配方、烘烤温度和图形密度直接使用，原来的拟合精度并不会自动保留。

二维频谱与方向性

理想圆瞳对旋转具有对称性，但源形状、偏振和像差通常会打破这一对称。一个竖直线栅的频谱主要沿水平方向分布；把线栅旋转后，其频谱也随之旋转。如果照明是定向偶极，旋转后的级次可能落入完全不同的瞳区。因此，单条切线上的通过频率不能代表整张二维版图。

孤立矩形的频谱更能显示这一点。宽度为 $a$、长度为 $b$ 的理想振幅矩形，其频谱与

\[ab\,\operatorname{sinc}(af_x)\operatorname{sinc}(bf_y)\]

成正比。长线的中部可以近似成一维问题，但到了线端，沿长度方向的有限支撑不可忽略；角点则同时依赖两个方向的频率。把一维线宽偏置直接用于端部和拐角，可能修正中部 CD（关键尺寸），却让端点误差仍然很大。

辅助图形的作用也能用相位解释。若把一个小结构从原点移到 $\mathbf r_0$，其频谱会乘以 $e^{-i2\pi\mathbf f\cdot\mathbf r_0}$。它对主图形的影响，不只是增加多少频谱能量，还取决于各频率的相位。辅助图形的尺寸相同、距离不同，可能在目标边缘产生不同的建设性或破坏性干涉。这就是为什么不能仅根据“它比分辨率小”决定摆放位置。

带宽受限反演与正则化

先暂时回到一个简化的线性问题，目的仅是辨认病态性。设观测为 $Y=HX+N$，目标是选择输入 $X$，让输出接近给定 $Y_t$。若直接取 $X=Y_t/H$，当 $H$ 很小时，细小误差就会被放大；在 $H=0$ 的频率，除法根本没有定义。

一个常见的数学处理是最小化

\[|HX-Y_t|^2+\alpha|X|^2,\]

对每个频率求导，可以得到

\[X_\alpha=\frac{H^*}{|H|^2+\alpha}Y_t.\]

这一线性正则化结果说明稳定性与拟合误差之间的权衡：增大 $\alpha$ 抑制输入振幅，也增加目标偏差；在传递函数为零处，解不恢复被截断的频率。实际 OPC（光学邻近效应修正）还需要处理非线性材料响应和可制造性约束。

真实掩膜还有更严格的限制：透过率与相位可用范围有限，结构需要满足最小尺寸，辅助图形不能自行误打印。因此，线性式即使给出了连续复数解，也不一定对应可制造掩膜。实际优化要在前向光学与胶模型里反复评估候选，通常不能直接使用一次频域除法。

更微妙的是，最终目标往往只有一条轮廓，而不是整张连续光强。许多不同光强分布可以穿过同一条阈值边界；如果其中一种在边界处更陡、离焦更稳定，即使它的峰谷形状更不像掩膜，也可能更适合制造。由此可见，OPC 追求的对象应是合格的图形和工艺裕量，而非恢复一张与掩膜完全一致的灰度图。

在仿真中识别带宽问题，还应区分物理截止和数值截断。物理截止来自孔径；数值截断来自有限计算区域、离散网格与保留的傅里叶级次。周期边界会让孤立图形与其复制像发生相互作用，网格过粗则可能把高频折叠为低频，形成混叠。两者都可能看起来像一种邻近效应，却不是实际光学系统的行为。

因此，至少应分别改变计算区域大小、网格间距和保留级次数，观察关键边缘是否收敛。对于有限源采样，还需要检查源点密度；只增加图像像素而不增加源采样，不能保证部分相干积分已经准确。若一个所谓的改善随着网格设置改变就消失，它首先是数值问题，不能直接解释成照明或掩膜设计的物理收益。数值收敛提供的是求解精度证据，仍然需要实验或严格模型对照来检验物理近似。

OPC 的轮廓控制目标

在线性示意模型 $Y=HX$ 中，若某个频率 $H=0$，直接求 $X=Y/H$ 没有意义；若 $H$ 很小，输入误差和模型误差会被放大。实际光刻又增加了非线性、二值化和可制造掩膜约束，因此 OPC 不能把已被截断的任意轮廓细节完整恢复。

OPC 在可用频率与允许几何中调整干涉，使目标边缘附近的等值线满足位置和稳定性要求。亚分辨率辅助图形通过改变主图形附近的频谱权重参与控制；照明优化进一步调整频率配对的权重。

成像失效可以按衍射级次的接收范围、相对振幅、相位和偏振分析，再检查这些条件能否形成足够陡峭的目标边缘。频率支撑提供必要约束，最终可打印性仍由干涉结果与材料响应共同决定。

参考文献

[1] Goodman, J. W. Introduction to Fourier Optics. 4th ed. W. H. Freeman / Macmillan Learning, 2017. ISBN 9781319119164. 出版社书目与目录。访问日期：2026-10-25。

[2] Kirchauer, H. Photolithography Simulation. TU Wien, 1998，§4.1.3 “Fourier Analysis of an Imaging System”。大学原文。访问日期：2026-10-25。

[3] Massachusetts Institute of Technology. 2.71/2.710 Optics: Coherent imaging; The Optical Transfer Function. Fall 2006，课程讲义。MIT 原始 PDF。访问日期：2026-10-25。

[4] Kirchauer, H. Photolithography Simulation. TU Wien, 1998，§4.3–4.3.1。Advanced Illumination Aperture；Abbe’s Method。访问日期：2026-10-25。

[5] Kirchauer, H. Photolithography Simulation. TU Wien, 1998，§4.1.5 “Vector-Valued Extension”。大学原文。访问日期：2026-10-25。

[6] Mack, C. A. Fundamental Principles of Optical Lithography: The Science of Microfabrication. Wiley, 2007，第 4–7 章。DOI: 10.1002/9780470723876。访问日期：2026-10-25。