源—掩模协同优化：目标函数、算法与工程约束

源—掩模协同优化（Source Mask Optimization，SMO）联合调整照明角谱和掩模几何，以改善一组目标图形的成像质量与共同工艺窗口。照明决定参与成像的入射方向和权重，掩模决定各方向下的衍射振幅与相位；两组变量通过部分相干成像相互耦合。

光源通常由整层曝光共享，而掩模可以在局部区域分别修正。因此，SMO 同时具有全局方案选择与局部几何优化两个尺度。局部最优照明需要经过图形集合、设备可实现性和制造规则的共同约束，才能用于全芯片掩模综合。下文给出目标函数、源点梯度和双层优化的数学结构，并讨论模型、硬件映射与验证对结果的限制。

成像带宽与协同设计自由度

光刻分辨率与景深常以 Rayleigh 关系作第一层估计：

\[\begin{aligned} CD&=k_1\frac{\lambda}{NA}, \\ DOF&=k_2\frac{\lambda}{NA^2}. \end{aligned}\]

$k_1$、$k_2$ 概括了图形、照明、成像与工艺条件，并非对任何布局都相同的常数。波长和数值孔径确定后，更小 CD（关键尺寸）往往要求更激进的分辨率增强，同时降低对焦点、剂量与误差的容忍度。教材以部分相干成像、离轴照明和工艺窗口系统解释了这些联系。[1]

掩模不是只传递一幅缩小照片。它把入射光衍射到不同空间频率，而有限物镜只收集其中一部分。离轴照明能改变被收集的级次组合；主图形 bias、相位结构和 SRAF（亚分辨率辅助图形）则能改变这些级次的振幅与相位。光源与掩模分别控制频谱的采样和供给，SMO 正是同时调整这两部分。

这也解释为什么源优化不是单纯调曝光亮度。剂量影响整体曝光总量，光源形状影响角谱；总剂量相同的两套光源，也可能给出完全不同的调制、方向响应和焦深。讨论结果时，应分开报告源形状、归一化方式与剂量。

部分相干成像的源点表示

设掩模复振幅为 $M(\mathbf r)$，其傅里叶谱为 $\widehat M(\mathbf f)$。对位于光瞳坐标 $\mathbf q$ 的一个照明源点，在薄掩模、标量近似下，像场可以写成

\[A_{\mathbf q}(\mathbf r) =\mathcal F^{-1}\!\left\{ P(\mathbf f+\mathbf q)\widehat M(\mathbf f) \right\}.\]

$P$ 包含孔径与像差等信息，频移正负号取决于傅里叶和入射方向约定；物理含义是源点改变光瞳相对于掩模频谱的位置。同一个源点产生的各衍射级次相干干涉，不同源点之间则按强度相加：

\[I(\mathbf r)=\int_{\Omega_s} S(\mathbf q)|A_{\mathbf q}(\mathbf r)|^2 \,d\mathbf q.\]

离散化以后成为

\[I(\mathbf r)=\sum_{j=1}^{N_s}s_j |h_j*M|^2(\mathbf r), \qquad s_j\ge0.\]

源权重 $s_j$ 对应每个源点强度图的非负系数。Ma 与 Arce 的像素 SMO 原始研究给出了源与掩模敏感度、部分相干成像及约束处理的具体框架。[2]

周期线栅的衍射级次

一维周期图形的频谱集中在离散衍射级次。若物镜只收集零级，像面几乎没有所需的线条调制；如果收集零级与合适的一阶光，就可能通过干涉形成条纹。离轴源可以让原先在孔径外的一级进入物镜。

但它只解决了特定节距与方向的问题。把同一源转给另一个节距，一阶位置会变化；转给二维拐角，两个方向的频率要共同参与；转给线端，原有周期近似又不够。最佳源依赖图形，所以全局源必须在图形集合上作折中。

Hopkins、SOCS 与源点积分

在同样的近似条件下，部分相干系统可压缩为传输交叉系数 TCC：

\[\mathrm{TCC}(\mathbf f_1,\mathbf f_2)= \int S(\mathbf q) P(\mathbf f_1+\mathbf q) P^*(\mathbf f_2+\mathbf q)\,d\mathbf q.\]

空中像是对两组掩模频率的二重积分：

\[I(\mathbf r)=\iint \mathrm{TCC}(\mathbf f_1,\mathbf f_2) \widehat M(\mathbf f_1)\widehat M^*(\mathbf f_2) e^{i2\pi(\mathbf f_1-\mathbf f_2)\cdot\mathbf r} \,d\mathbf f_1d\mathbf f_2.\]

直接计算很昂贵。对 TCC 作相干系统分解，只保留主要模态，就得到常见 SOCS 形式：

\[I(\mathbf r)\approx\sum_{k=1}^{K} \lambda_k|g_k*M|^2(\mathbf r).\]

这里 $g_k$ 为第 $k$ 个相干成像核，$\lambda_k\ge0$ 是相应权重，$K$ 是保留的模态数，$*$ 表示空间卷积。固定源后，模态核可以反复复用，适合高容量掩模更新；源变化以后，TCC 及其核一般也随之变化，不能始终当作不变常数。源点求和则直接暴露每个源点的贡献，便于源梯度和源相关三维响应，但大量源点增加了计算负担。

在一致假设与充分采样下，Hopkins 与 Abbe 表述对应同一部分相干成像模型，工程差别主要来自截断、采样、预计算复用及计算架构。加入三维掩模或矢量模型后，需要重新确认相应分离条件与近似误差。

2024 年 BiSMO 工作选择加速 Abbe 源点形式来组织联合与双层优化，说明成像表达会影响哪些梯度更容易计算。[3] 这里的选择是算法与实现的协同，不能据此推断另一种形式已被淘汰。

多图形、多工艺角目标

设代表图形为 $T_c$，局部掩模为 $M_c$，所有图形共享光源 $S$。把焦点、剂量、像差、掩模误差等条件记为 $\theta_p$，常见抽象目标为

\[\begin{aligned} \min_{\{M_c\},S}\quad& \sum_c\alpha_c\sum_pw_p L\!\left(F(M_c,S;\theta_p),T_c\right)\\ &+\lambda\sum_c R_M(M_c)+\mu R_S(S),\\ \text{s.t.}\quad&M_c\in\mathcal M,\quad S\in\mathcal S. \end{aligned}\]

$\alpha_c$ 表示图形重要性，$w_p$ 表示工艺角权重。$\mathcal M$ 包括二值或相位状态、最小尺寸、间距、曲率、SRAF 不打印等条件；$\mathcal S$ 包括非负性、能量、支持域、对称性和照明器自由度。

这个式子需要明确三个边界。其一，$F$ 停在空中像、显影还是刻蚀后，决定误差的物理含义。其二，有限角采样只约束已采到的条件，不能证明连续工艺空间都合格。其三，软惩罚可能被其他项“买通”：若违反一条制造规则只需付有限成本，优化器可能选择违规。因此最终硬规则检查仍然必要。

共同窗口与平均损失

给定图形 $c$，令其合格工艺条件集合为

\[\mathcal W_c= \{\theta:\mathrm{EPE}_c(\theta)\le\epsilon, \ \text{且无指定拓扑失效}\}.\]

整层共同窗口为

\[\mathcal W_{\mathrm{common}}=\bigcap_c\mathcal W_c.\]

共同窗口受到最先失效的关键图形约束，平均损失却可能继续由数量较多的合格样本主导。提高活动图形（active patterns）的权重、回补最坏样本或采用近似最大值目标，均可增强对这些约束的关注，但需要与窗口的最终定义一致。

期望型目标、最坏角目标和最大化窗口面积，是三类不同问题。它们可能给出不同源。论文若只报告平均像素差，便不能自动宣称共同工艺窗口获得同等比例改善。

源权重与掩模的敏感度

固定掩模时，记第 $j$ 个源点的强度图为 $a_j(\mathbf r)$，则

\[\begin{aligned} I&=\sum_js_ja_j, \\ \frac{\partial I}{\partial s_j}&=a_j. \end{aligned}\]

若 $Z=R(I)$，目标为 $L(Z,T)$，链式法则给出

\[\frac{\partial L}{\partial s_j} =\sum_{\mathbf r} \frac{\partial L}{\partial Z} \frac{\partial R}{\partial I} \,a_j(\mathbf r).\]

源点权重的梯度，是其成像贡献与当前误差信号的加权关联。一个源点在某些位置改善误差，可能在另一些位置制造误差；跨图形求和以后，它的净价值才由整层目标决定。

掩模梯度则需要将像面误差通过光学算子反传。一次前向与反向计算能够获得大量掩模变量的灵敏度，无需逐像素扰动。但这些变量并不物理独立，卷积和干涉始终把它们耦合在一起。

固定掩模下的凸子问题

若掩模固定，且目标直接是空中像 $b$，离散成像矩阵的每列为 $a_j$，则

\[\min_{\mathbf s\ge0,\,\mathbf1^T\mathbf s=1} \|A\mathbf s-\mathbf b\|_2^2\]

是一个带单纯形约束的凸二次问题。它说明源侧有时可以利用比联合问题更强的数学结构。可是加入胶阈值、轮廓位置、复杂硬件映射和工艺窗口以后，这个凸性结论就不能无条件沿用；更不能由此说完整 SMO 是凸问题。

归一化也不只是数值习惯。如果源强整体缩放与剂量完全自由，$D\mathbf s$ 可能出现尺度不唯一。固定 $\sum_js_j=1$，把总量交给剂量变量，可以避免把“换了一套角谱”与“单纯加曝光量”混在一起。

成像指标与失效模式

EPE 与边缘斜率

EPE（边缘放置误差）衡量轮廓相对目标的位置偏差，必须说明评估点、符号和容差。在一维阈值近似下，边缘由 $I(x_e)=I_{\mathrm{th}}$ 定义，对源权重微扰可得

\[\frac{\partial x_e}{\partial s_j} =-\frac{\partial I(x_e)/\partial s_j} {\partial I(x_e)/\partial x}.\]

分母很小的时候，边缘位置对扰动很敏感，也使数值梯度不稳定。这从一个局部角度解释了为何仅降低标称轮廓误差还不够，还应关注成像斜率。

NILS

常用定义为

\[\mathrm{NILS}=CD \left|\frac{\partial\ln I}{\partial x}\right|_{I=I_{\mathrm{th}}} =\frac{CD}{I_{\mathrm{th}}} \left|\frac{\partial I}{\partial x}\right|_{I=I_{\mathrm{th}}}.\]

较高斜率通常使剂量扰动转化为较小边缘移动，但 NILS（归一化图像对数斜率）并不完整包含线端、随机尾部和刻蚀效应。Franke 等人的 EUV 实验专门区分了随机 CDU 与缺陷：在其测试集合里，随机 CDU 与 NILS 相关性较强，而缺孔、合孔更需要观察特征中心与间隙的最大/最小强度。不能把某一项指标的改善直接当成所有缺陷率的改善。[4]

MEEF 与 PV Band

若缩小倍率为 $R$，掩模误差增强因子可写成

\[\mathrm{MEEF}=\frac{\Delta CD_{\mathrm{wafer}}} {\Delta CD_{\mathrm{mask}}/R}.\]

分子、分母必须使用同一方向和一致的尺寸定义。高 MEEF 的源—掩模组合，可能在理想掩模上很好，却放大实际制造误差。各向异性成像时，方向相关倍率尤其需要交代。

PV Band 描述一组工艺条件下轮廓包络的变化，其数值依赖采样、带宽或面积定义。带很窄但整体偏离目标，仍不是好解；标称位置正确但带很宽，也不稳健。共同使用位置误差与变化范围，才能区分这两类情况。

交替、联合与双层优化

交替优化

固定掩模优化源，再固定源优化掩模，循环推进。它容易接入已有 SO/MO 引擎，也便于在不同子问题里使用不同模型和约束。但若每次把一个子问题求得很精细，另一个变量一变，前面很多工作可能失效；若更新太浅，又可能在两个方向之间来回追逐。

交替下降在适当条件下可以降低同一个目标，但不同工程子问题若使用不同损失、规则或模型，连单调下降也不能直接假定。最终停止原因应区分目标收敛、规则合格、预算用尽和迭代停滞。

联合梯度

同时计算源与掩模梯度，可以观察两类自由度的协同方向。问题在于变量尺度不同：源的自由度较少且全局共享，掩模变量多且局部化；若直接用同一步长，可能出现一方变化过快、一方几乎不动。归一化、预条件、投影与步长控制因此很重要。2009 年的像素化研究，是理解这类方法的原始入口之一。[2]

双层优化

双层思路把源的响应写进掩模的上层问题。例如

\[\begin{aligned} S^*(M)&=\arg\min_{S\in\mathcal S}L_{\mathrm{SO}}(M,S), \\ &\min_M L_{\mathrm{MO}}(M,S^*(M)). \end{aligned}\]

其梯度除了掩模直接影响，还包含“掩模变化导致最优源变化”的间接影响：

\[\frac{dL_{\mathrm{MO}}}{dM} =\frac{\partial L_{\mathrm{MO}}}{\partial M} +\frac{\partial L_{\mathrm{MO}}}{\partial S} \frac{dS^*}{dM}.\]

2024 年 BiSMO 工作围绕这种 hypergradient 设计近似算法。[3] 它的收益必须与所用 benchmark、模型和比较基线绑定。理论收敛条件也应读清楚：收敛到某类平稳点，不等于完整制造问题的全局最优。

在光滑且局部内点解满足适当条件时，可以由下层一阶条件求隐式导数；若有活动不等式约束，就要处理相应 KKT 条件，不能直接无条件求逆 Hessian。实际下层通常只近似求解，hypergradient 因而也有截断和数值误差。

降维、代理与启发式搜索

参数化源、稀疏基、关键图形筛选和低维曲线，可以降低规模；学习模型可提供初值或快速成像代理；启发式搜索则能探索不同初始盆地。它们改变的是预算如何分配，而不是取消工艺验证。

更低维的源容易落到硬件，但可能错过需要的自由形状；更自由的源能降低仿真目标，却可能在硬件映射中损失收益。比较时，应以映射后的可实现源重新优化和验证，而不是只展示理想源。

全芯片图形覆盖与约束发现

全芯片 SMO 需要用代表图形约束共享光源，并在后续版图验证中检验覆盖范围。几何冗余图形可以合并处理，影响窗口的局部结构则需要保留。

2009 年 Rosenbluth 等人的 22 nm 研究处理多图形源—掩模的集中优化，2011 年的 full-chip SMO 工作继续面向全芯片规模和图形选择。[5] [6] “全芯片”的工程含义，应该从图形覆盖、共享光源与最终掩模验证理解，而不是简单从同时放进优化器的像素数量判断。

候选集合通常要覆盖节距、方向、局部密度、线端、拐角、接触孔和历史热点。只按几何相似聚类可能不够，因为几何差异很小的图形，在临界成像条件下可能有完全不同的响应。反过来，很多几何不同的图形，可能对源提出相同约束。

图形选择可以组织为主动约束发现：利用当前集合优化光源，在更大版图中搜索最坏失效，再将新增约束加入集合并继续优化，直到达到预定覆盖标准。

权重也不能仅按出现频率决定。一类稀有图形可能承载关键连接，不能因为样本少就让它被平均损失淹没；而一个根本不可打印的孤立异常图形，也不应无限拉偏全局光源。此时应判断它是否需要设计规则修改或图形化方案调整。

设备映射与制造验证

1. 定义输出和误差预算。 明确空中像、胶或刻蚀后目标，给出 EPE、CD、拓扑和缺陷要求，选择工艺角。
2. 校准模型并划出适用范围。 光学、掩模三维、胶和后续工艺的误差不应混成一个未解释的经验系数。
3. 建立与筛选代表图形。 保留整层真正困难的方向、节距和二维构型，再预留独立验证集合。
4. 联合探索光源和掩模。 在合理松弛下观察需要的频谱与辅助结构，同时记录对初值与权重的敏感性。
5. 落实设备和掩模约束。 将自由源映射到可实现分布，二值化或几何化掩模，再做回修。
6. 冻结并核验全局源。 检查光瞳实现精度、能量利用、源模糊与匹配，确认实际设备条件。
7. 完成全芯片掩模修正。 在固定源下执行 OPC（光学邻近效应修正）/ILT（逆光刻技术）、数据准备和全芯片规则/光刻验证，回补热点。
8. 用掩模与晶圆闭环。 将实际写入、检测和晶圆计量与预测比较，必要时回到模型、图形集合或源方案。

官方 Proteus 文档也把关键图形联合探索与后续全芯片综合联系起来。[7] 这解释了为什么“源与掩模一起优化”和“固定源进行全芯片 OPC”可以同时成立：它们处在不同计算层级。

从理想场到设备光源及可制造几何的映射可能损失性能。投影前后应在相同条件下比较误差、窗口、MRC（掩模规则检查）与照明可实现性；灰度掩模、连续自由源和薄掩模结果的报告范围应限于其实际模型阶段。

联合设计方法的演进

2001—2002 年：联合设计成为清楚的公开问题。 Rosenbluth 等人先在会议报告，再在期刊扩展，研究通过源与掩模共同增加自由度。论文包含固定源、固定掩模以及联合情形；其小场周期图形条件是理解成果范围的必要信息。[8]

2009 年：像素方法与多图形优化并行推进。 Ma 与 Arce 展示像素化源—掩模及约束策略；Rosenbluth 等人的工业研究面向 22 nm 多图形的共同源设计。两条路线分别发展了联合求解与跨图形约束的处理。[2] [5]

2011 年：全芯片规模进入流程设计。 图形筛选、全局光源和大容量掩模修正逐步衔接，评价范围由局部图形的联合最优扩展到整层覆盖与验证。[6]

EUV 与 High-NA 阶段：三维、材料与缺陷进入权衡。 反射式掩模使吸收体和入射角更难与源分开；先进窗口还要看随机缺陷与刻蚀后的结果。2024 年 High-NA 研究已经把 tone、absorber、SRAF 和规则纳入方案评估。[9]

可微与双层阶段：重新组织求解过程。 2024 年 BiSMO 代表一种新的计算结构：不只是加快已有迭代，而是将源响应显式传入掩模更新。它与更真实物理、更大图形集合和制造约束能否共同扩展，仍需逐项验证。[3]

这些节点不是某一种方法突然替代前一种的时间表。早期理论、源硬件、模型校准和生产数据在不同组织里有不同节奏，公开论文只能支持其具体展示的范围。

EUV 与 High-NA 的模型约束

源点相关的三维掩模响应

EUV 的反射式多层膜、吸收体和斜入射，会带来方向相关振幅、相位、阴影和焦面效应。某个源点不再只是薄掩模频谱的平移采样，其响应还与结构方向、吸收体和入射条件相关。

这时，快速模型适合迭代，严谨电磁模型适合检查候选解，但二者的误差必须量化。若在不含关键三维效应的代理里优化出极端形状，最后的严谨验证可能推翻原本的光源排序。更多源自由度并不能补偿漏掉的物理。

随机缺陷与成像代理指标

EUV 随机性涉及光子统计、二次电子、胶反应和局部粗糙度。平均轮廓正确，仍可能出现罕见缺孔或桥连；局部 CDU 小，也不自动保证尾部缺陷率足够低。

Franke 等人的实验价值，在于把成像指标与显影、刻蚀后的计量联系起来，而不是只比较仿真图。[4] 对 SMO 来说，更可信的路线是根据目标失效模式选择代理，再用真实缺陷数据检验代理是否仍然成立。

剂量同时影响随机失效和曝光吞吐量，照明形状又改变有效能量及图像调制。生产目标需要在缺陷率、剂量和设备时间之间作联合权衡。

High-NA 的倍率与容差

更高 NA 提供更高分辨率，同时景深缩小。High-NA 的各向异性倍率使不同方向的掩模尺度与规则需要分别处理。掩模 tone、absorber、辅助图形和源形状相互影响，不能只把 NA 数字替换进旧模型。

2024 年 imec 的随机逻辑金属研究就是一个具体例子：其结论要结合该研究的图形、吸收体与规则条件理解。[9] 它支持联合路径探索有必要，不支持存在一个所有层通用的 High-NA 自由源。

当胶、刻蚀与设计规则也可变化时，严格的 source-mask 两变量问题就向更大的协同设计扩展。此时应把新增变量明确写出来，避免用 SMO 一个缩写遮住物理与成本责任。

算法收益与工艺收益的评价

学习方法可以提供初值、筛选活动图形、加速三维响应或识别分布外热点。相应收益应按实际作用阶段报告，推理时间与完整流程时间分别计量；替代签核的结论则需要独立模型和晶圆数据支持。

曲线掩模增加了几何自由度，同时涉及写入、检测和修复约束。VSB 逼近曲线的成本与分割和剂量相关，多束写入仍受数据、扫描和工艺条件影响。其收益需要在制造后晶圆结果与总成本上评价。

鲁棒目标与成像指标需要对应实际失效概率。平均 EPE、NILS 和 PV Band 的解释范围取决于它们对显影后、刻蚀后失效的预测能力，以及这种关系在不同层和材料上的适用性。

当特定节距和线端集合不存在共同可行光源时，问题可能需要扩展至设计规则、分解方式或图形化路线。继续增加源像素的自由度未必改善可行性，SMO 的分析结果可用于定位这些设计—工艺约束。

公开基准需要同时记录图形覆盖、光学模型、工艺角、设备照明约束、MRC、计算资源和停止条件。算法速度与误差的比较以任务范围相同为前提。

结果报告的边界条件

结果报告应给出图形集合的方向、节距和二维构型，以及独立验证中新增的热点约束。前向模型的输出平面、三维掩模处理和随机性假设决定了结果可以解释的失效类型。

平均误差、最坏工艺角、共同窗口与缺陷率需要分别定义。照明映射后的形状、能量、模糊和匹配，以及剂量比较条件，也应与优化时的理想分布分开记录。

掩模的二值化、MRC、写入、工艺校正、检测及修复决定最终制造可行性。数值收敛、模型内合格、实物掩模和晶圆曝光属于不同证据层级，应分别给出验证结果。

SMO 的交付条件是照明、掩模与工艺相互兼容。联合变量在理想模型中的收益，需要经过设备映射、几何制造和多条件验证后，才能计入可用的共同工艺窗口。

参考文献

以下在线资料统一访问于 2026-10-25。为便于跨方法比较，正文公式统一了符号；局部凸子问题、隐式边缘导数与共同窗口集合为教学性分析，不代表特定商业实现。

1. C. A. Mack. Fundamental Principles of Optical Lithography: The Science of Microfabrication. Wiley, 2007. DOI: 10.1002/9780470723876.
2. X. Ma, G. R. Arce. “Pixel-based Simultaneous Source and Mask Optimization for Resolution Enhancement in Optical Lithography.” Optics Express, 17(7): 5783–5793, 2009. DOI: 10.1364/OE.17.005783.
3. G. Chen, H. He, P. Xu, H. Geng, B. Yu. “Efficient Bilevel Source Mask Optimization.” Proceedings of the 61st ACM/IEEE Design Automation Conference, Article 142, 2024. DOI: 10.1145/3649329.3656252. 作者原文.
4. J.-H. Franke, A. Frommhold, A. Dauendorffer, K. Nafus, G. Rispens, M. Maslow. “Elucidating the Role of Imaging Metrics for Variability and After Etch Defectivity.” Journal of Micro/Nanopatterning, Materials, and Metrology, 21(2): 023201, 2022. DOI: 10.1117/1.JMM.21.2.023201. imec 原文.
5. A. E. Rosenbluth, D. O. Melville, K. Tian, et al. “Intensive Optimization of Masks and Sources for 22nm Lithography.” Proceedings of SPIE, 7274: 727409, 2009. DOI: 10.1117/12.814844. IBM 原始出版记录.
6. M.-C. Tsai et al. “Full-chip Source and Mask Optimization.” Proceedings of SPIE, 7973: 79730A, 2011. DOI: 10.1117/12.881633.
7. Synopsys. Proteus Solutions: Full-Chip Mask Synthesis. 官方技术文档, 2024. PDF.
8. A. E. Rosenbluth, S. Bukofsky, C. Fonseca, et al. “Optimum Mask and Source Patterns to Print a Given Shape.” Journal of Microlithography, Microfabrication, and Microsystems, 1(1): 13–30, 2002. DOI: 10.1117/1.1448500. 作者机构原文. 会议初版发表于 SPIE 4346, 2001。
9. S. Hwang, W. Gillijns, S. De Gendt, R.-H. Kim. “Source Mask Optimization (SMO) Study for High-NA EUV Lithography to Achieve Single Patterning on Random Logic Metal.” Proceedings of SPIE, 12954: 129540X, 2024. DOI: 10.1117/12.3010869. imec 官方书目.