TCC 与 SOCS：部分相干成像的低秩表示及全芯片计算

TCC（Transmission Cross Coefficient，传输交叉系数）将照明和光瞳合并为掩模频率之间的耦合算子。SOCS（Sum of Coherent Systems，相干系统之和）对该算子作谱分解，以少量相干通道近似部分相干成像。其压缩对象是系统响应的秩，掩模的几何数据和输出图像仍需单独处理。

这种区分直接关系到全芯片计算的资源估算。对一颗 $20\,\mathrm{mm}\times20\,\mathrm{mm}$ 的芯片采用 $10\,\mathrm{nm}$ 网格，整片共有四万亿个采样点，一张单精度实数图约占 16 TB。这一理想化算例只用于估计内存规模。实际计算还需要利用光学带宽选择采样、通过 tile 和 halo 管理面积，并以 FFT（快速傅里叶变换）或局部查表应用相干核。下文从同一套前向模型推导这些方法及其误差来源。

坐标、归一化与物理近似

以下推导把所有横向长度折算到晶圆侧，用 $\mathbf x=(x,y)$ 表示位置，$\mathbf f=(f_x,f_y)$ 表示以“周每单位长度”计的空间频率。傅里叶约定为

\[\widehat m(\mathbf f)=\int m(\mathbf x) e^{-i2\pi\mathbf f\cdot\mathbf x}\,d\mathbf x.\]

$m$ 是掩模复振幅透过率，不是强度；相移区域的 $m$ 可以带有相位。$P$ 为包含孔径、像差和离焦的光瞳函数，$S(\mathbf s)\geq0$ 为光源方向的强度权重，通常归一化为积分等于 1。

经典推导采用标量、薄掩模以及局部平移不变假设：照明角度改变时，仍可使用同一份掩模频谱；某一局部区域内的物镜用同一套核表示。不同源点彼此不相干，但同一源点产生的掩模衍射级次保留相干干涉。Hopkins 的理论与后续快速成像工作都建立在明确的模型条件上。[1][2]

Abbe 源点积分

对一个方向为 $\mathbf s$ 的源点，省略不影响强度的整体载波相位，可写

\[u_{\mathbf s}(\mathbf x)=\mathcal F^{-1} \left[\widehat m(\mathbf f)P(\mathbf f+\mathbf s)\right].\]

每个源点给出一幅相干电场图，总强度为

\[I(\mathbf x)=\int S(\mathbf s)|u_{\mathbf s}(\mathbf x)|^2\,d\mathbf s.\]

离散后对应

\[I(\mathbf x)\approx\sum_{j=1}^{J}w_j \left|\mathcal F^{-1}\!\left[ \widehat m(\mathbf f)P(\mathbf f+\mathbf s_j) \right]\right|^2.\]

光源积分的面积权重已经吸收到 $w_j$ 中。代码若只取样 $S(\mathbf s_j)$ 却遗漏积分权重，改变采样密度就可能改变总光强，这是实现上的基本归一化错误。

Abbe 形式的优势是物理直观，也方便接入依赖照明角度的掩模响应。代价是每次更换掩模或执行优化迭代，都要计算许多源点通道。源点数 $J$ 越多，源点积分的精度可能越好，但运行成本也随之增长。

Hopkins 传输交叉系数

把模平方展开，再交换积分次序，得到

\[I(\mathbf x)=\iint \widehat m(\mathbf f_1)\widehat m^*(\mathbf f_2) T(\mathbf f_1,\mathbf f_2) e^{i2\pi(\mathbf f_1-\mathbf f_2)\cdot\mathbf x} \,d\mathbf f_1d\mathbf f_2,\]

其中

\[T(\mathbf f_1,\mathbf f_2)= \int S(\mathbf s)P(\mathbf f_1+\mathbf s) P^*(\mathbf f_2+\mathbf s)\,d\mathbf s.\]

$T$ 就是 TCC。两份二维频率构成一个四维函数。它描述某一对掩模频率在给定照明与物镜下，以怎样的权重和相位共同贡献图像。对角项给出单频能量，非对角项带有空间振荡，是明暗条纹的来源。

只要照明、光瞳和工艺条件不变，TCC 就能预先计算并供不同掩模复用。这一点在 Kirchauer 的公开光刻建模论文中有清楚的离散推导。[3] 但预计算并没有消除维数：若有效频率网格有 $N$ 个点，直接存 TCC 需要 $N^2$ 个复数。

这里的 $N$ 是所选离散频率表示的维数，$J$ 是源点积分的采样数，后文的 $K$ 是保留的模态数。把这三个量都称为“kernel 数”，会让复杂度比较失去意义。

TCC 的 Gram 结构与相干分解

对离散频率点 $\mathbf f_p$，定义矩阵

\[A_{pj}=\sqrt{w_j}\,P(\mathbf f_p+\mathbf s_j).\]

则离散 TCC 满足

\[T=AA^{\dagger}.\]

源点积分权重和频率求积权重需要与所用离散内积一致；这里默认已经吸收到表示中。由这个 Gram 矩阵结构立刻得到三个结论：

• $T=T^{\dagger}$，即 Hermitian 对称。
• 对任意向量 $z$，有 $z^{\dagger}Tz=\lVert A^{\dagger}z\rVert^2\geq0$，即半正定。
• $\operatorname{rank}(T)\leq\min(N,J)$，源点响应之间还可能进一步线性相关。

因此可作特征分解

\[\begin{aligned} T&=\sum_{k=1}^{r}\lambda_k v_kv_k^{\dagger}, \\ &\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_r>0. \end{aligned}\]

令 $h_k=\mathcal F^{-1}[v_k]$，代回 Hopkins 公式，得到

\[I(\mathbf x)=\sum_{k=1}^{r}\lambda_k \left|(h_k*m)(\mathbf x)\right|^2.\]

这就是 SOCS：每一路先对掩模电场作线性卷积，再取模平方，最后按非负权重相加。不同 SOCS 模态之间不再叠加电场干涉。Pati 与 Kailath 在 1994 年讨论最优相干近似，Cobb 的 1998 年博士论文则给出了 SOCS 与快速 OPC（光学邻近效应修正）的系统实现。[2][4]

一个源点对应的通道有明确的照明方向；一个 SOCS 模态通常是多个源点响应经过线性组合得到的数值基底。它不必对应一束能在光源面直接找到的真实光线。模态的相位或简并子空间中的基底可以改变，最终的强度和仍然不变。

谱截断与误差界

保留全部 $r$ 个模态，只是等价改写。实际加速使用

\[\begin{aligned} T_K&=\sum_{k=1}^{K}\lambda_kv_kv_k^{\dagger}, \\ I_K&=\sum_{k=1}^{K}\lambda_k|h_k*m|^2, \\ &K<r. \end{aligned}\]

在标准离散矩阵范数下，谱截断有

\[\begin{aligned} \|T-T_K\|_2&=\lambda_{K+1}, \\ \|T-T_K\|_F^2&=\sum_{k>K}\lambda_k^2. \end{aligned}\]

这是线性代数意义上的最佳秩 $K$ 近似。它优化的是算子误差，并没有直接最小化某个版图上的最大 EPE（边缘放置误差），也没有保证所有工艺角使用同一个 $K$ 都足够。

还可由前面的分解直接推导出一个有用检查。令 $z_p(\mathbf x)=\widehat m^*(\mathbf f_p)e^{-i2\pi\mathbf f_p\cdot\mathbf x}$，把离散求积权重吸收到向量，则

\[I-I_K=z^{\dagger}(T-T_K)z =\sum_{k>K}\lambda_k|v_k^{\dagger}z|^2\geq0,\]

并且

\[I-I_K\leq\lambda_{K+1}\|z\|^2.\]

也就是说，对同一离散模型、相同归一化、未重新缩放的纯非负谱截断，少算通道会低估该点光强。若程序得到大幅交替正负偏差，应排查插值、核裁切、重新归一化、FFT 或实现约定；不能先把它都解释成截断本身。这个检查只针对上述固定条件，不适用于额外拟合了有符号校正项的模型。

常见的“累计特征值占比”可用于初选 $K$，但 $\sum_{k\leq K}\lambda_k/\sum_k\lambda_k$ 对应 trace 占比，而不是 Frobenius 范数保留率，更不是图像相对精度。一个很小的算子尾项，如果恰好投影到困难版图的重要频谱上，仍可能影响关键轮廓。

光强误差到边缘误差的传播

设紧凑模型用 $I(n)=I_{\rm th}$ 决定沿法向 $n$ 的边缘位置。在局部单调、斜率非零的小扰动近似下，

\[\delta n\approx\frac{\delta I_{\rm th}-\delta I}{\partial I/\partial n}.\]

因此，核数选择应与边缘斜率联动。同样的绝对光强误差，落在陡峭边缘上可能很小，落在低对比度线端或颈缩位置就会变成明显 EPE。若轮廓发生连通性变化，上式的小扰动近似还会失效。

下面给一个专门构造的量纲算例。令两处阈值附近的光强误差都是归一化光强的 0.002：斜率为每纳米 0.02 时，对应约 0.1 nm 的边缘偏移；斜率降到每纳米 0.002 时，则约为 1 nm。这个例子不是任何设备的测量，只说明为什么“平均光强误差很小”不能单独当作轮廓签核标准。

合理的选核流程是：先根据谱衰减给出候选 $K$，再用代表性版图比较高精度参考图像，最后检查标称与工艺边界上的 CD（关键尺寸）、EPE 和失效情况。若优化器使用梯度，还要核对梯度误差；前向误差小并不自动保证搜索方向足够准确。

基于源点矩阵的分解

既然 $T=AA^{\dagger}$，可以直接对 $A$ 做奇异值分解：

\[\begin{aligned} A&=U\Sigma V^{\dagger}, \\ T&=U\Sigma^2U^{\dagger}. \end{aligned}\]

因此 TCC 特征值是 $A$ 的奇异值平方。对 $A$ 做薄 SVD，或在较小维度上求解相关特征问题，可以避免显式构造完整 $N\times N$ 矩阵。Cobb 的论文讨论了数值分解与快速成像组织。[4]

这也提供了两个测试极限。只有一个源点、没有额外偏振通道时，$A$ 只有一列，$T$ 的秩至多为 1；一个相干核即可表达该离散模型。源点增多后，如果平移光瞳彼此差异很大，谱衰减就可能变慢，低秩收益下降。因此不能把某一照明配置下的核数直接当作所有照明的经验常数。

这里压缩的始终是系统响应的可分离结构。版图的频率内容、像素数和几何复杂度仍通过 $m$ 进入计算。

SOCS 的 FFT 实现

一块有 $Q$ 个像素的掩模，固定核组下可按以下顺序处理：

1. 对掩模作一次正向 FFT，得到 $\widehat m$。
2. 对每个模态逐点乘 $v_k$，再作逆 FFT，得到 $u_k$。
3. 计算 $\lambda_k\lvert u_k\rvert^2$ 并累加。

主要复杂度约为 $O(KQ\log Q)$。ASML 的 scanner-model 专利公开描述了“一次正向 FFT 加若干次逆 FFT”的应用流程。[5] 与离散源点法相比，收益主要来自 $K$ 是否明显小于所需的源点数 $J$；在源点很少或三维响应强烈依赖入射角的情形，直接源点积分也可能更合适。

FFT 默认计算周期卷积。若局部图形并不周期重复，需要用填充或带重叠的分块处理避免回卷。核的中心位置、FFT shift、像素中心坐标和逆变换归一化都要一致；错一项，图像仍可能看起来很平滑，却整体移动半个像素或缩放一个常数。

内存也有取舍。逐核计算并累加强度，可以避免同时保存全部 $K$ 个电场；若后续反向传播需要中间场，则在保存、重算和批量计算之间权衡。分解阶数相同的两个实现，也可能因内存与数据搬运策略不同而有很大速度差异。

光学带宽、采样与边缘定位

令 $\lambda$ 为曝光的真空波长，像方数值孔径为 $\mathrm{NA}=n\sin\alpha$，其中 $n$ 是像方介质折射率，$\alpha$ 是最大接收半角；缩小倍率已包含在晶圆侧坐标变换中。在上述理想标量模型中，像面电场频谱限制在光瞳内。强度来自两份电场频率相减，因此其最大横向频率不超过 $2\mathrm{NA}/\lambda$。对包含这一完整带宽的强度图，Nyquist 条件要求

\[\Delta x\leq\frac{\lambda}{4\mathrm{NA}}.\]

例如 $\lambda=193\,\mathrm{nm}$、$\mathrm{NA}=1.35$ 时，这个理论上限约为 35.7 nm。实际应留出采样与插值误差余量。专利 [5] 讨论了光学带宽、主采样网格和插值的关系；这里的 1.35 算例由该关系计算，未引用专利中的其他设备配置。

边缘是连续强度函数与阈值的交点，通过合适的带限重建或插值，可以定位在采样点之间。因而输出 EPE 以 nm 计，并不意味着必须把所有强度像素缩到 1 nm。

但必须防止另一种误读：空中像带限不代表锐利的掩模几何也带限。掩模栅格化仍要正确计算覆盖率或相关低频谱，粗网格直接按像素中心取 0/1 可能产生混叠。胶阈值形成的二值轮廓也不是带限函数，其提取、拓扑与窄结构必须另行验证。

稠密成像与边缘查表

ILT（逆光刻技术）通常需要大面积损失和梯度，适合稠密 FFT。传统边段 OPC 可能主要在控制点量测 EPE，因此只需计算局部点的电场。

利用卷积线性，可以把多边形分解成可预计算的几何基元，查询这些基元对各核、各控制点的贡献，先相加复数电场，再计算强度。Cobb 的论文把成像核、局部几何与控制点计算连接到同一个 OPC 框架中。[4]

这里必须保留“先加电场”的顺序。若分别把每个边段的强度算好再相加，会丢掉同一相干通道里的交叉项。稠密 FFT 与稀疏查表都可以应用 SOCS；它们的区别在于计算哪些位置、如何表示几何，以及怎样利用重复工作。

tile、halo 与并行边界

大版图要分块，但光学卷积会跨过分块边界。计算一个 tile 的 core 时，必须读取外围一圈 halo；只保留可信的 core，或在重叠区域采用一致的组合规则。公开的 TSMC 专利讨论了 core、transition 和 halo 以及并行更新的同步机制。[6] 这证明相关组织方式已有公开实现思路，不表示所有商业工具都采用该专利的具体方案。

对边长为 $L$ 的正方形 core，四周各加宽 $h$ 的 halo，参与计算的面积与输出面积之比为

\[\eta=\frac{(L+2h)^2}{L^2}.\]

这是纯几何开销。若 $L=4\,\mu\mathrm m$、$h=1\,\mu\mathrm m$，则 $\eta=2.25$；若把 core 缩到 $2\,\mu\mathrm m$ 而 halo 不变，开销变成 4。小 tile 容易调度，也可能让大量资源花在重复区域。最优尺寸取决于 FFT 效率、设备内存、通信和误差容限。

衍射核通常带有长尾，halo 并没有天然的“外面影响绝对为零”边界。应逐步增加 halo，测量 core 内的最坏光强和轮廓变化，直到满足误差预算。长程 flare 或模型的其他非局部项，也可能需要不同的全局或多尺度处理。

正向成像接得好，还不代表优化梯度也接得好。反向传播必须包含 core 误差对邻近掩模区域的贡献，并正确累加重叠区域。验证时既要比较跨接缝的图像，也要比较跨接缝扰动的方向导数。

伴随算子与优化梯度

令损失对光强的导数为实数 $g_I=\partial J/\partial I$，对实数振幅掩模有

\[\begin{aligned} \frac{\partial J}{\partial m} &=2\operatorname{Re}\sum_k\lambda_k h_k^{\dagger}*\left(g_Iu_k\right), \\ h_k^{\dagger}(\mathbf x)&=h_k^*(-\mathbf x). \end{aligned}\]

这由前面的 SOCS 表达直接求导得到。复数掩模则需使用一致的 Wirtinger 导数或实虚部参数化。其结构仍是一组卷积，因而与前向计算共享 FFT 和并行组织。优化需要的不只是一张图，而是反复调用同一个算子及其伴随，这正是预计算光学基底有价值的原因。

但截断核也会改变梯度。若低阶模型搜索出了一个依赖尾部模式误差的掩模，用更完整的模型复算时可能不再合格。因此应在核数、halo 和工艺角加密后检查最终结果，并在必要时回到较高精度模型继续优化。

三维掩模与场依赖

薄掩模模型把同一个 $m$ 用于所有源点。真实厚掩模可能需要 $m_{\mathbf s}$，因为不同入射方向会产生不同振幅、相位和偏振响应。这时不能不加说明地把一个全局 $\widehat m$ 提出源点积分，经典 TCC 的分离条件已经改变。

可用路线包括源点积分、角度分组、矢量或多通道分解，以及先生成紧凑三维掩模响应再接入成像。2026 年关于曲线厚掩模的研究展示了把局部电磁响应组织成可卷积通道的一种方法。[7] 它说明快速结构可以扩展，但不能把某一具体模型的误差和速度推广为所有 EUV 或 High-NA 条件的结论。

场位置、离焦和偏振变化，也可能需要多套核。剂量在最简单的线性光学模型里只是强度缩放，但进入非线性胶模型后，最终轮廓仍需重新计算。缓存哪些量、何时重新生成核，应由依赖关系决定。

分层误差预算

误差来源	改变什么来检查	应观察什么
源点求积	增加源点并保持积分归一化	参考图像是否收敛
SOCS 截断	增加 $K$	光强、EPE 与梯度变化
掩模表示	提高覆盖率或频谱精度	边缘平移是否产生伪振荡
空间截断	增加核窗口与 halo	core 最坏误差、接缝误差
采样和插值	改变强度网格与重建方式	轮廓位置与连通性
物理近似	比较更高保真模型与独立数据	新图形、工艺角的预测残差

实现验证可以依次使用单源点 rank-one 极限、平移图形、小尺寸 Abbe 参考计算以及整块与分块对照，分别检查分解、相位约定、光强近似和边界处理。

全芯片资源需求由算子应用与版图面积共同决定。Hopkins 提前合并照明和物镜，SOCS 降低系统响应的表示秩，FFT 或几何查表降低应用成本，带限采样减少图像数据，tile 和 halo 则管理局部任务及其耦合。总加速取决于这些环节的资源占比，各自的近似误差也需要纳入共同预算。

参考文献

[1] Hopkins, H. H. On the diffraction theory of optical images. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 1953, 217: 408–432. DOI: 10.1098/rspa.1953.0071。

[2] Pati, Y. C.; Kailath, T. Phase-shifting masks for microlithography: automated design and mask requirements. Journal of the Optical Society of America A, 1994, 11(9): 2438–2452. DOI: 10.1364/JOSAA.11.002438。

[3] Kirchauer, H. Photolithography Simulation. 博士论文，TU Wien，1998，§4.3.2。Hopkins 方法的作者公开章节。

[4] Cobb, N. B. Fast Optical and Process Proximity Correction Algorithms for Integrated Circuit Manufacturing. 博士论文，University of California, Berkeley，1998，尤其第 3–4 章。学校书目页；作者公开全文。

[5] Cao, Y.; Ye, J.; Koonmen, J. P.; Hunsche, S. Scanner model representation with transmission cross coefficients. 美国专利 US9645509B2，2017-05-09。专利全文。引用用于说明公开的计算结构，不作为性能比较或量产覆盖率证据。

[6] Beylkin, D.; Ho, K. L.; Trivedi, S. V.; Xu, F.; Lei, J.; Peng, D. Synchronized parallel tile computation for large area lithography simulation. 美国专利 US10671052B2，2020-06-02。专利全文。

[7] Chen, H.; Guo, S.; Su, K.; et al. Physically covariant, curvilinear thick-mask model for full-chip computational lithography. Light: Advanced Manufacturing, 2026, 7: 100. DOI: 10.37188/lam.2026.100；期刊全文。

以上在线资料访问日期：2026-10-25。图 2 的教材书目和许可见图注。