OPC 的掩模表示：边段、像素与隐式边界

光学邻近校正（OPC）通过预先修改掩模，补偿投影成像、光刻胶和刻蚀造成的线端回缩、角部圆化及线宽偏移。其优化目标定义在晶圆上，可控变量则位于掩模侧；掩模的表示方式决定了可搜索的几何集合、导数的计算形式以及制造约束的实施方式。

边段表示将优化变量集中在已有边界附近，像素表示将变量扩展到整个掩模场，水平集和显式曲线则在场与几何之间提供不同的参数化。这几种表示都可以使用物理模型和梯度算法，也都受到非凸性与模型误差的限制。以下在统一前向模型下比较它们的表达能力、计算成本和制造适用性。

掩模优化的目标与可行集合

设目标晶圆图形为 $T$，掩模为 $M$，光源为 $S$，焦点、剂量和材料条件统称 $\theta$。正向模型写成

\[W=F(M,S;\theta).\]

$W$ 可以是空中像、显影后轮廓，也可以是刻蚀后轮廓。三种输出不是同一种精度承诺：空中像正确，并不能自动证明胶形和最终电路都正确。教材中的光学、胶和图形转移模型，正是用来说明这些环节怎样相互连接的。[1]

在固定光源下，掩模优化的通用形式是

\[\min_{M\in\mathcal M} \sum_{p\in\mathcal P}w_p\, L\!\left(F(M,S;\theta_p),T\right)+\lambda R(M).\]

$\mathcal P$ 是选定的工艺角，$L$ 衡量晶圆误差，$R$ 惩罚掩模复杂度，$\mathcal M$ 则包含二值性、最小线宽和间距等可制造条件。这个式子适用于很多边缘法和场方法，区别主要在于怎样给 $M$ 编码、允许哪些变化，以及怎样把约束带进迭代。

有限衍射带宽使掩模到晶圆的映射通常不具有唯一、稳定的反函数：不同掩模可能产生近似相同的晶圆像，部分目标也超出可实现范围。逆向设计因此采用受约束搜索，排除不可制造或对工艺扰动敏感的候选。Poonawala 与 Milanfar 的逆成像论文采用了这一优化与正则化框架。[2]

边段表示与局部灵敏度矩阵

在边段表示中，一条长边被分为 $n$ 段，第 $j$ 段沿法线的位移为 $u_j$，掩模写成 $M(\mathbf u)$。目标边缘上的评估点给出 EPE（边缘放置误差）向量 $\mathbf e$。

若修正幅度较小，局部关系可近似为

\[\begin{aligned} \mathbf e(\mathbf u+\Delta\mathbf u) &\approx \mathbf e(\mathbf u)+J\Delta\mathbf u, \\ J_{ij}&=\frac{\partial e_i}{\partial u_j}. \end{aligned}\]

$J$ 是灵敏度矩阵。它说明某一片段的移动，会影响哪些晶圆边缘。由于成像存在空间耦合，矩阵一般不只在对角线上有元素；不能把每条边当成互不相关的独立旋钮。一个带正则化的局部更新示例是

\[\min_{\Delta\mathbf u} \left\|W^{1/2}(\mathbf e+J\Delta\mathbf u)\right\|_2^2 +\lambda\|D\Delta\mathbf u\|_2^2,\]

其中 $D$ 可以惩罚相邻片段移动量的剧烈差异。上式是解释边缘法的局部数学示例，并非所有商业 OPC 引擎的共同实现。

边缘表示的优势很具体。变量集中在需要移动的边界附近，容易保留设计层级，修正幅度和几何规则也比较好控制。对大量已经接近合格的图形，继续围绕边缘做小步更新，是有效的计算资源分配。缺点也来自同一结构：固定拓扑和固定片段布局，会限制它主动生成新孔洞、新连接或远离原始边界的辅助图形。实际系统常用 SRAF（亚分辨率辅助图形）插入、重新切分和混合求解弥补这些限制。

因此，片段越多不一定越好。分段过粗会丢失角部与线端的控制能力；分段过细会增加变量、病态灵敏度和几何碎片。评估点若只覆盖主边中部，还可能出现“采样点 EPE 很小，角部仍失效”的情况。表示密度和误差采样密度必须共同设计。

规则式与模型式 OPC

规则式 OPC 根据线宽、间距、方向等条件施加 bias、serif 或 hammerhead。它把大量工艺经验压缩为可执行规则。模型式 OPC 则在修正循环里调用光刻模型，比较预测轮廓与目标，再更新掩模。

规则式与模型式的区分独立于边段或像素表示。边段求解器可以由正向模型驱动，像素优化也需要规定二值性、辅助图形和制造约束。模型式 OPC 与 ILT（逆光刻技术）均依赖物理仿真，其差别主要体现在可行集合与求解方式。

同样，OPC 与 ILT 也有重叠。前者强调邻近效应修正任务，后者强调把掩模综合表述为逆问题，以及采用更自由的掩模搜索。当前公开产品文档同时列出 Manhattan/curvilinear OPC 与 field-based ILT，足以说明输出是不是曲线，不能独自决定求解器类别。[3]

像素表示与二值松弛

把一个面积为 $A$ 的局部区域离散为网格，网格间距为 $h$，像素变量数量近似为

\[N\approx \frac{A}{h^2}.\]

在二维、区域面积固定的情况下，间距减半，变量数量约变为四倍。这是相对于空间采样精度的二次增长，并不是“变量数量指数增长”。如果进一步考虑所有二值掩模的组合数，才会得到 $2^N$ 个候选配置；实际算法并不会逐一枚举它们。

最直接的二值模型为 $m_i\in{0,1}$。这对应透射振幅的两种状态，而不是在晶圆上直接指定亮度；相移掩模、EUV 反射式掩模和三维电磁模型需要更完整的复振幅或几何描述。为方便求梯度，算法常先把变量放宽到 $0\le m_i\le1$，优化灰度场，再将其投影为可制造结构。像素化逆掩模设计至少在 Liu 与 Zakhor 1992 年的论文中已有系统研究，不能把它的开端笼统放在 2000 年以后。[4]

更大的自由度带来两个有意义的变化。一是主特征与辅助图形可以参与同一个目标函数，不必完全依赖事先指定的 SRAF 位置。二是边缘可离开初始几何，改变连接关系或局部拓扑。不过“每个像素是一个变量”不等于像素对物理结果的影响互相独立，优化器仍需考虑光场耦合。

像素法还有一个容易被图像展示掩盖的代价：灰度最优解不一定靠近任何可行二值解。优化器可能借用大量半透明区域调整频谱，一旦硬阈值化，原有抵消关系就消失了。因此，二值化不是最后保存文件时的格式转换，而是算法必须提前考虑的物理和制造条件。

成像算子与梯度计算

在标量薄掩模、部分相干成像近似下，常用相干系统分解把空中像近似为

\[I(\mathbf r)\approx \sum_{k=1}^{K}\lambda_k \left|h_k*M\right|^2(\mathbf r).\]

$h_k$ 是相干核，$\lambda_k$ 是对应权重，$*$ 表示卷积。该形式使 FFT（快速傅里叶变换）和并行计算可以反复利用。设简化胶响应为

\[\begin{aligned} Z&=\sigma\!\left(a(I-I_{\mathrm{th}})\right), \\ \sigma(x)&=\frac{1}{1+e^{-x}}, \end{aligned}\]

就能通过链式法则把 $L(Z,T)$ 的梯度传播回掩模。sigmoid 是便于优化的平滑阈值示例，不能替代经晶圆校准的完整胶模型。[1] [2]

若 $q_k=h_k*M$，反向传播将像面残差与 $q_k$ 组合，再经共轭核卷积返回掩模。一次前向及相应反向计算即可得到整场导数，计算成本不再按逐像素有限差分次数增长。

但梯度便宜不表示整题便宜。焦点/剂量角数量、成像核数量、网格大小、掩模三维模型、迭代步数和 GPU 显存共同决定成本。卷积计算的典型规模近似为 $O(PKN\log N)$，这里 $P$ 是工艺角数量；这只是主导算子的估算，还未计入几何约束、通信和版图读写。加速一个算子，未必等比例加速全流程。

水平集与显式曲线表示

像素法并不是 ILT 唯一的表示。水平集（level set）引入标量函数 $\phi(x,y)$，以其零等值线代表掩模边界，例如

\[M(x,y)=H(\phi(x,y)),\]

$H$ 为阶跃函数。边界可以按速度场 $v_n$ 演化：

\[\frac{\partial\phi}{\partial t} +v_n|\nabla\phi|=0.\]

这种表示把边界移动、曲率控制和拓扑变化放进统一框架。其数值基础来自 Osher 与 Sethian 1988 年的移动界面工作。该论文本身是通用计算方法，并非 ILT 生产能力的证明。[5]

水平集也有实际限制。若只在现有边界附近做局部演化，远处完全独立的 SRAF 未必自动出现；通常还要引入成核策略、拓扑导数、初始化或额外的场更新。连续函数也不会自动保证低曲率，平滑性需要通过速度设计、曲率项和离散方式控制。把 level set 说成“天然自动长出所有最佳辅助图形”，会忽略算法里最难的那部分。

曲线参数化则提供另一个折中：用样条或控制点描述边界，变量比全场像素少，也能表达弯曲几何。它可能牺牲拓扑自由度，却更便于限制曲率和输出复杂度。像素、水平集和曲线控制点因而应看作不同的工程取舍，而不是单向替代关系。

非凸性、模型误差与制造约束

第一，问题非凸。空中像包含复振幅的模平方，胶响应又有阈值或更复杂非线性，制造约束还会引入离散选择。更多自由度可能得到更低目标值，也可能让优化落入另一处局部极小值。初值、多尺度延续、步长和工艺角权重都会影响结果。

目标函数与验收指标可能不一致。像素误差和平均 EPE 会弱化稀有连接失效的权重，优化还需要约束关键位置的断线、桥连、最坏边缘误差及局部工艺窗口。

正向模型误差构成另一项限制。高自由度求解器可能利用快速模型中的近似，产生仿真损失较低、实际工艺裕量却不足的结构。独立模型、留出图形和晶圆数据用于检验这种偏差。

制造成本取决于最小线宽和间距、曲率、狭缝、孤岛、数据量以及掩模检测与修复要求。优化中可加入二值化、周长或总变分约束，例如

\[\begin{aligned} R_{\mathrm{bin}}(M)&=\sum_i m_i^2(1-m_i)^2, \\ R_{\mathrm{TV}}(M)&=\int|\nabla M|\,d\mathbf r. \end{aligned}\]

它们分别鼓励两种透射状态、抑制边界复杂度，但不能代替精确 MRC（掩模规则检查）。周长短的图形仍可能带有过窄颈部；满足像素邻域规则的图形，经过几何转换和掩模工艺后仍可能违规。

多工艺条件下的鲁棒优化

只优化标称焦点与剂量，容易得到尖锐的“单点冠军”。量产需要的是在规定误差范围内，同时容忍离焦、剂量和掩模 CD（关键尺寸）的变化。每个图形有自己的合格区域，整层合格窗口是这些区域的交集。

因此，常见的鲁棒思路是增加多工艺角误差，或把最坏误差直接写成目标：

\[\min_M\max_{p\in\mathcal P}L_p(M).\]

最大值难以平滑优化时，可以用 log-sum-exp 近似。它把注意力集中到当前最困难的角；但工艺角采样不完整，仍可能漏掉角与角之间的局部失效。改进目标函数和加密最终验证，是两个不同任务。

NILS（归一化图像对数斜率）、MEEF（掩模误差增强因子）和 PV Band 分别从像面斜率、掩模误差放大和工艺轮廓波动观察稳定性。它们相互关联，却不能相互替代。例如 NILS 高的线条，仍可能在某个线端形成桥连；PV Band 小，也可能整体偏离目标。读论文时应同时看指标定义、图形集合和失败计数。

全芯片分块与掩模数据处理

全芯片分块需要处理光学卷积引入的区域耦合。重叠边界、halo、共享约束及最终整层验证用于维持一致性，具体实现随工具而异；边段与像素方法都具有这一边界问题。

多尺度求解通常先在较粗网格上寻找主要形状，再在细网格修正线端、曲率和局部误差。它降低初期成本，但细化后必须重新检查二值性和规则。相同地，局部重复图形可以缓存结果，不过仅当其周围光学与工艺环境在允许范围内等价，复用才成立。

掩模写入又增加了一层变换。VSB 用有限形状 shot 拼合图形，曲线可能增加分割复杂度；多束写入按大规模束阵列曝光，对几何复杂度的敏感性不同。但“多束”不等于写入时间与任何输入都无关，剂量、扫描、数据处理和设备条件仍影响周转时间。应把写入、掩模工艺校正和检测一起纳入成本评估，而非只比较输出文件大小。

学习初值与可微边缘优化

DiffOPC 将边缘控制点接入可微优化框架，使边段表示能够直接使用自动微分。[6]

DevelSet 由神经网络提供水平集初值，再以 GPU 加速的物理优化继续演化。论文报告的约一秒运行时间对应其指定测试条件，评价完整流程还需计入全芯片数据处理与生产验证。[7]

表示、初始化和求解器是可分别优化的环节。学习初值需要由物理模型复核，自动微分的准确性则以既定前向模型为条件。方法比较应固定规则、工艺角、数据与硬件，并同时报告最终合格掩模的质量和总周转时间。

参数化方法的比较条件

扩大掩模搜索空间主要用于缓解表示自由度不足。若误差由校准偏差、工艺角漏采样、照明选择或掩模制造噪声主导，增加变量可能使求解器进一步适应不准确的模型，而无法改善实际晶圆结果。

可比实验需要固定目标定义、光源、工艺模型、MRC 和误差限，并报告最坏 EPE、桥连或断线、共同窗口、制造后轮廓及完整计算成本。初值、失败样本和比较基线也影响结果的解释范围；局部算例提供的证据仅覆盖对应的图形与工艺条件。

边段、像素和隐式边界对应不同的参数化与计算取舍。更大的可行集合提供了形状和拓扑上的搜索自由度，同时增加了约束处理和模型验证的要求。实际方案的选择应依据制造后误差与工艺裕量，并将计算和掩模交付成本计入同一比较。

参考文献

以下网页与在线文献统一访问于 2026-10-25。公式中的局部线性化与复杂度估算用于解释方法，未声称复现特定商业实现。

1. C. A. Mack. Fundamental Principles of Optical Lithography: The Science of Microfabrication. Wiley, 2007. DOI: 10.1002/9780470723876.
2. A. Poonawala, P. Milanfar. “Mask Design for Optical Microlithography—An Inverse Imaging Problem.” IEEE Transactions on Image Processing, 16(3): 774–788, 2007. DOI: 10.1109/TIP.2006.891332.
3. Synopsys. Proteus Solutions: Full-Chip Mask Synthesis. 产品技术文档, 2024. 官方 PDF.
4. Y. Liu, A. Zakhor. “Binary and Phase Shifting Mask Design for Optical Lithography.” IEEE Transactions on Semiconductor Manufacturing, 5(2): 138–152, 1992. DOI: 10.1109/66.136275.
5. S. Osher, J. A. Sethian. “Fronts Propagating with Curvature-Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton-Jacobi Formulations.” Journal of Computational Physics, 79(1): 12–49, 1988. DOI: 10.1016/0021-9991(88)90002-2.
6. G. Chen, H. Yang, H. Ren, B. Yu, D. Z. Pan. “Differentiable Edge-based OPC.” ICCAD, 2024. 作者预印本 arXiv:2408.08969.
7. G. Chen, Z. Yu, H. Liu, Y. Ma, B. Yu. “DevelSet: Deep Neural Level Set for Instant Mask Optimization.” IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 42(12): 5020–5033, 2023. DOI: 10.1109/TCAD.2023.3286262. 初步会议版发表于 ICCAD 2021。